Des questions de Grand oral pour viser la santé

Problématique : une tumeur débutante peut avoir la même densité que les tissus voisins et rester invisible sur une image anatomique. La tomographie par émission de positons (TEP) la révèle par son fonctionnement : comment un noyau radioactif peut-il rendre visible une activité cellulaire ?

I. Une cellule cancéreuse consomme beaucoup de glucose. Prolifération rapide, besoins énergétiques élevés ; le glucose est la source d'énergie cellulaire (respiration, fermentation).

II. On marque un analogue du glucose avec un noyau radioactif. Le fluorodésoxyglucose (FDG) porte du fluor 18, émetteur ${\beta }^{+}$ de demi-vie d'environ $110$ minutes. Loi de décroissance $N(t)=N_0{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$ avec $\lambda =\frac{\ln 2}{t_{1/2}}$. Le FDG entre dans les cellules comme le glucose mais s'y accumule.

III. On détecte le rayonnement pour reconstruire une image. Le positon émis s'annihile avec un électron : deux photons $\gamma$ partent dans des directions opposées ; la caméra détecte les coïncidences et localise la source. Limites : dose reçue, faux positifs (inflammation, cerveau et cœur, gros consommateurs de glucose).

Notions : PC — radioactivité ${\beta }^{+}$, lois de conservation, décroissance radioactive, demi-vie, activité ; SVT — métabolisme cellulaire, cancer et divisions cellulaires incontrôlées.

Questions probables du jury : pourquoi un isotope de demi-vie courte ? Quelle fraction reste-t-il après 220 minutes (un quart) ? Pourquoi le cerveau apparaît-il très brillant ? Le patient est-il radioactif en sortant ? Pourquoi produit-on le fluor 18 près de l'hôpital ?

Problématique : notre métabolisme produit en permanence des acides (dioxyde de carbone, acide lactique), et pourtant le pH sanguin reste dans une fourchette étroite (environ $7,35$ à $7,45$). Comment un milieu peut-il résister aux variations de pH, et que se passe-t-il quand ce contrôle échoue ?

I. Le sang est une solution tampon. Le couple principal est $\mathrm{CO}{}_2,\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}/\mathrm{HCO}{}_3{}^{-}$, de $\mathrm{p}{K}_a$ voisin de $6,1$ à $37$ °C. Relation : $\mathrm{pH}=\mathrm{p}{K}_a+\log \frac{[\mathrm{HC}{\mathrm{O}}_3^{-}]}{[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2]}$. Pour $\mathrm{pH}=7,4$, le rapport vaut environ $10^{1,3}\approx 20$.

II. Deux organes ajustent les deux termes du rapport. Les poumons éliminent le $\mathrm{CO}{}_2$ (la ventilation s'accélère quand le sang s'acidifie) ; les reins ajustent les ions hydrogénocarbonate, plus lentement.

III. Quand la régulation est débordée. Acidose (insuffisance respiratoire, acidocétose du diabétique), alcalose (hyperventilation lors d'une crise d'angoisse). Un écart de quelques dixièmes de pH peut menacer la vie.

Notions : PC — couples acide-base, $K_a$ et $\mathrm{p}{K}_a$, diagramme de prédominance, solution tampon ; SVT — échanges gazeux respiratoires, fonctionnement intégré de l'organisme.

Questions probables du jury : définir une solution tampon ; pourquoi le pH du sang n'est-il pas égal au $\mathrm{p}{K}_a$ ? Que se passe-t-il si l'on retient sa respiration ? Pourquoi la régulation rénale est-elle plus lente ?

Problématique : la lumière visible ne nous rend pas malades, une partie des ultraviolets si. Qu'est-ce qui, dans un rayonnement, le rend capable d'altérer l'ADN, et pourquoi les effets apparaissent-ils parfois des décennies plus tard ?

I. Le photon UV transporte plus d'énergie. $E=h\nu =\frac{hc}{\lambda }$ : plus la longueur d'onde est courte, plus l'énergie du photon est grande. Un photon UVB (environ $280$ à $315$ nm) peut être absorbé par l'ADN et provoquer des réactions chimiques que la lumière visible ne déclenche pas.

II. Une lésion de l'ADN peut devenir une mutation. Les UVB provoquent notamment des liaisons anormales entre bases voisines (dimères de pyrimidines). Si la réparation échoue, une erreur se fixe lors de la réplication. Une accumulation de mutations dans des gènes contrôlant la division cellulaire peut conduire à un cancer.

III. Des protections naturelles et techniques. Mélanine, systèmes de réparation de l'ADN, crèmes solaires (filtres qui absorbent ou réfléchissent les UV) ; risques accrus avec les coups de soleil dans l'enfance et les cabines de bronzage.

Notions : PC — photon, relation de Planck-Einstein, spectre électromagnétique ; SVT — structure de l'ADN, réplication, mutations, réparation, cancer.

Questions probables du jury : pourquoi les ondes radio ne provoquent-elles pas de mutation ? Calculer l'énergie d'un photon de $300$ nm. Mutation somatique ou germinale : laquelle est en cause, et se transmet-elle aux enfants ? Pourquoi le risque augmente-t-il avec l'âge ?

Problématique : on voit un fœtus ou le cœur battre sans ouvrir le corps et sans rayonnement ionisant. Comment une onde que l'oreille n'entend pas peut-elle fabriquer une image, et même mesurer la vitesse du sang ?

I. Les ultrasons sont des ondes mécaniques. Fréquence supérieure à $20$ kHz (en échographie, de l'ordre du mégahertz) ; célérité dans les tissus mous voisine de $1540$ m/s ; plus la fréquence est élevée, plus l'image est fine mais moins l'onde pénètre.

II. L'image naît des échos. À chaque interface entre deux tissus, une partie de l'onde est réfléchie. La sonde mesure la durée $\Delta t$ de l'aller-retour, d'où la profondeur $d=\frac{v\Delta t}{2}$. Le gel supprime l'air entre la sonde et la peau, qui réfléchirait presque tout.

III. L'effet Doppler mesure le mouvement. L'onde réfléchie par les globules rouges en mouvement change de fréquence ; le décalage donne la vitesse du sang (dépistage d'un rétrécissement artériel). Atouts et limites : pas de rayonnement ionisant, mais images moins précises que l'IRM, os et gaz infranchissables.

Notions : PC — ondes mécaniques, célérité, fréquence et longueur d'onde, réflexion, effet Doppler ; SVT — organes, circulation, développement de l'embryon.

Questions probables du jury : pourquoi n'entend-on pas les ultrasons ? Calculer la profondeur d'un organe si l'écho revient après $65$ µs (environ $5$ cm). Pourquoi l'échographie ne permet-elle pas de voir le cerveau d'un adulte ? Le Doppler donne-t-il un sens de circulation ?

Problématique : les premiers vaccins à ARN messager contre la Covid-19 devaient être stockés à très basse température, ce qui compliquait leur distribution. Pourquoi une molécule aussi efficace est-elle si fragile, et comment la chimie aide-t-elle à la protéger ?

I. Comment fonctionne un vaccin à ARN messager. L'ARNm entre dans des cellules, qui le traduisent en une protéine du virus ; le système immunitaire produit alors des anticorps et des lymphocytes mémoire, sans contact avec le virus entier. L'ARNm est ensuite dégradé : il n'entre pas dans le noyau et ne modifie pas l'ADN.

II. L'ARN se dégrade d'autant plus vite que la température est élevée. L'ARN est sensible à l'hydrolyse et aux enzymes qui le coupent. La température est un facteur cinétique : plus elle est haute, plus les chocs efficaces entre molécules sont fréquents, plus la dégradation est rapide.

III. Les solutions. Encapsulation dans des nanoparticules lipidiques, nucléotides modifiés, chaîne du froid ; les formulations ont évolué et les conditions de conservation se sont assouplies depuis les premières versions.

Notions : PC — cinétique chimique, facteurs cinétiques, vitesse de réaction, temps de demi-réaction ; SVT — expression génétique (transcription, traduction), immunité adaptative et vaccination.

Questions probables du jury : un vaccin à ARN peut-il modifier notre ADN ? Pourquoi la vitesse de réaction augmente-t-elle avec la température ? Qu'est-ce qu'un lymphocyte mémoire ? Quelle différence avec un vaccin à virus inactivé ?

Problématique : un test « fiable à 99 % » se révèle positif. Intuitivement, on se croit malade à 99 %. Or ce n'est presque jamais vrai. Pourquoi la probabilité d'être malade sachant que le test est positif dépend-elle autant de la fréquence de la maladie ?

I. Ce que mesure un test. Sensibilité : probabilité que le test soit positif chez un malade. Spécificité : probabilité qu'il soit négatif chez une personne saine. Exemples : tests antigéniques, tests sérologiques qui détectent des anticorps.

II. Le calcul par un arbre de probabilités. Prévalence $1\%$, sensibilité $99\%$, spécificité $95\%$ : $P(T^{+})=0,01\times 0,99+0,99\times 0,05=0,0594$, et $P_{T^{+}}(M)=\frac{0,0099}{0,0594}\approx 0,17$. Un positif sur six seulement est malade : les faux positifs sont nombreux quand la maladie est rare.

III. Conséquences médicales. Dépister de préférence dans des populations à risque ; confirmer un test positif par un second examen ; expliquer le résultat au patient sans l'affoler.

Notions : Maths — probabilités conditionnelles, arbres pondérés, formule des probabilités totales, indépendance ; SVT — anticorps et antigènes, dépistage.

Questions probables du jury : définir la valeur prédictive positive ; que devient-elle si la prévalence monte à $30\%$ ? Pourquoi ne dépiste-t-on pas toute la population pour toutes les maladies ? Un test négatif exclut-il la maladie ?

Problématique : en 2020, les courbes épidémiques ont guidé des décisions de confinement. Comment de simples équations peuvent-elles prévoir l'évolution d'une épidémie, et jusqu'où peut-on leur faire confiance ?

I. Le début d'une épidémie est exponentiel. Si chaque malade contamine en moyenne $R_0$ personnes, le nombre de nouveaux cas d'une génération à la suivante forme approximativement une suite géométrique de raison $R_0$.

II. Le modèle SIR explique le pic. La population est répartie en susceptibles $S$, infectés $I$, retirés $R$. Le nombre d'infectés augmente tant que chaque malade contamine plus d'une personne, c'est-à-dire tant que la proportion de susceptibles reste supérieure à $\frac{1}{R_0}$. Le pic survient quand elle passe sous ce seuil.

III. La vaccination et le seuil d'immunité collective. Pour empêcher l'épidémie, il faut que la part immunisée dépasse $1-\frac{1}{R_0}$ (environ $67\%$ pour $R_0=3$). Limites : $R_0$ varie avec les comportements, les variants, l'immunité qui décline ; le modèle suppose une population homogène.

Notions : Maths — suites géométriques, fonction exponentielle, équations différentielles, modélisation ; SVT — immunité adaptative, vaccination, mémoire immunitaire.

Questions probables du jury : que signifie $R_0<1$ ? Pourquoi la rougeole exige-t-elle une couverture vaccinale très élevée ? Que ne prend pas en compte le modèle SIR ? Différence entre $R_0$ et taux de reproduction effectif ?

Problématique : une mutation de résistance est un événement très rare. Comment un événement si rare peut-il, en quelques jours de traitement, rendre une infection entière résistante ?

I. Les mutations sont rares mais les bactéries sont innombrables. Si une mutation donnée a une probabilité $p$ très faible à chaque division, le nombre attendu de mutants dans une population de $N$ bactéries est $Np$ : avec des populations de plusieurs milliards, quelques mutants existent presque sûrement avant tout traitement.

II. La croissance exponentielle amplifie la sélection. Sous antibiotique, les sensibles meurent, les résistantes se divisent : leur nombre est modélisable par $N(t)=N_0\times 2^{t/T}$ ($T$ temps de génération). En quelques heures, une poignée de mutants devient majoritaire.

III. Prévenir la sélection. Éviter les antibiotiques inutiles (contre les virus), associer plusieurs antibiotiques (la probabilité de deux résistances simultanées est le produit des probabilités, si elles sont indépendantes), surveiller les résistances.

Notions : Maths — probabilités, événements indépendants, suites géométriques, exponentielle, loi binomiale ; SVT — mutations, sélection naturelle, évolution des populations.

Questions probables du jury : la mutation est-elle provoquée par l'antibiotique ? Calculer la probabilité d'une double résistance si chacune vaut $10^{-8}$. Qu'est-ce qu'un transfert horizontal de gènes ? Pourquoi la tuberculose se traite-t-elle par plusieurs antibiotiques ?

Problématique : deux parents en bonne santé peuvent avoir un enfant atteint de mucoviscidose. Les lois de la génétique permettent-elles de prévoir ce risque, et que peut-on faire de cette information ?

I. Une maladie autosomique récessive. La mucoviscidose est due à des allèles mutés du gène CFTR. Un individu n'est malade que s'il porte deux allèles mutés ; les porteurs d'un seul allèle (hétérozygotes) sont sains. La méiose sépare les deux allèles de chaque parent.

II. Le calcul des probabilités. Pour deux parents hétérozygotes, chaque enfant a une probabilité $\frac{1}{4}$ d'être malade, $\frac{1}{2}$ d'être porteur sain, $\frac{1}{4}$ de n'avoir aucun allèle muté. Les naissances sont indépendantes : sur trois enfants, le nombre d'enfants malades suit une loi binomiale $\mathcal{B}\left(3;\frac{1}{4}\right)$ et $P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{37}{64}\approx 0,58$.

III. Du calcul à la décision. Conseil génétique, dépistage néonatal, diagnostic prénatal ; questions éthiques : droit de savoir et de ne pas savoir, information de la parentèle.

Notions : Maths — loi binomiale, indépendance, probabilité de l'événement contraire ; SVT — allèles, méiose, brassage génétique, expression des gènes.

Questions probables du jury : le fait d'avoir eu un enfant malade change-t-il la probabilité pour le suivant ? Que vaut la probabilité qu'un enfant sain soit porteur ? Que signifie « autosomique » ? Où sont les limites éthiques du dépistage ?

Problématique : un patient prend un médicament et va mieux. Cela prouve-t-il que le médicament l'a guéri ? Comment la médecine distingue-t-elle l'effet d'un traitement du hasard, de la guérison spontanée et de l'effet placebo ?

I. Les pièges de l'observation. Guérison naturelle, effet placebo, biais du médecin qui sait qui reçoit le traitement.

II. L'essai contrôlé randomisé. Deux groupes tirés au sort, un traitement et un placebo, en double aveugle (ni le patient ni le médecin ne savent). Seule différence entre les groupes : le traitement. C'est la démarche expérimentale appliquée à l'être humain, avec le consentement libre et éclairé des participants.

III. Le rôle des statistiques. Une différence entre deux groupes peut être due aux fluctuations d'échantillonnage. Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée est proche de la probabilité réelle (loi des grands nombres) ; l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer le risque d'un grand écart.

Notions : Maths — échantillonnage, variables aléatoires, espérance et variance, loi des grands nombres, inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; SVT — démarche expérimentale, témoin.

Questions probables du jury : pourquoi tirer au sort ? Pourquoi un double aveugle ? Est-il éthique de donner un placebo à un malade ? Pourquoi faut-il beaucoup de patients pour détecter un effet secondaire rare ?

Problématique : un médicament n'agit qu'au-dessus d'une concentration minimale et devient toxique au-delà d'une concentration maximale. Comment les mathématiques permettent-elles de choisir la dose et le rythme des prises pour rester dans cette fenêtre ?

I. L'élimination suit souvent une cinétique d'ordre 1. La vitesse d'élimination est proportionnelle à la concentration : $C^{\prime }(t)=-kC(t)$, d'où $C(t)=C_0{\mathrm{e}}^{-kt}$ et la demi-vie $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}$.

II. Les prises répétées. Si une fraction $q$ du médicament subsiste d'une prise à l'autre et que chaque prise apporte une dose $D$, la quantité juste après la $n$-ième prise vérifie $u_{n+1}=q{u}_n+D$. Cette suite arithmético-géométrique converge vers $\frac{D}{1-q}$ : c'est l'état d'équilibre.

III. La perfusion continue. Un débit constant $b$ donne $C^{\prime }=-kC+b$, dont les solutions tendent vers $\frac{b}{k}$. On ajuste $b$ pour que l'équilibre soit dans la fenêtre thérapeutique ; dose de charge pour l'atteindre plus vite.

Notions : Maths — équations différentielles $y^{\prime }=ay+b$, exponentielle, logarithme, suites arithmético-géométriques, limites ; PC — cinétique, loi de vitesse d'ordre 1, temps de demi-réaction, concentration.

Questions probables du jury : combien de demi-vies pour atteindre presque l'équilibre ? Pourquoi un insuffisant rénal doit-il recevoir des doses adaptées ? Que représente $k$ ? Le modèle à un compartiment est-il réaliste ?

Problématique : un concert ou un casque trop fort peut provoquer des acouphènes, voire une perte auditive définitive. Pourquoi notre perception sonore est-elle « logarithmique », et pourquoi quelques décibels de plus changent-ils autant le danger ?

I. Intensité et niveau sonore. L'intensité $I$ (en W/m²) varie sur des ordres de grandeur immenses ; on utilise le niveau $L=10\log \left(\frac{I}{I_0}\right)$ en décibels, avec $I_0=10^{-12}$ W/m². Doubler l'intensité ajoute environ $3$ dB ; multiplier l'intensité par $10$ ajoute $10$ dB.

II. La cochlée est un capteur fragile. Les cellules ciliées de l'oreille interne transforment la vibration en signal nerveux ; trop sollicitées, elles sont endommagées et, chez l'être humain, ne se régénèrent pas.

III. La dose de bruit. Le danger dépend du niveau et de la durée : à chaque fois qu'on ajoute $3$ dB, l'intensité double et la durée d'exposition acceptable est divisée par deux. En milieu professionnel, la réglementation impose des mesures de prévention à partir de $80$ dB(A) sur une journée de travail.

Notions : PC — ondes sonores, intensité sonore, niveau d'intensité sonore, atténuation ; Maths — fonction logarithme (décimal et népérien), propriétés algébriques, exponentielle.

Questions probables du jury : calculer le niveau de deux sources de $80$ dB qui fonctionnent ensemble (environ $83$ dB) ; pourquoi utiliser un logarithme ? Pourquoi les dB(A) ? Comment fonctionne un bouchon d'oreille ?

Problématique : une petite pince au bout du doigt affiche en quelques secondes la saturation en oxygène du sang. Comment une simple lumière traversant le doigt peut-elle mesurer une concentration chimique, et faut-il croire aveuglément le chiffre affiché ?

I. L'hémoglobine change de couleur avec l'oxygène. L'hémoglobine oxygénée et l'hémoglobine non oxygénée n'absorbent pas de la même manière la lumière rouge (vers $660$ nm) et infrarouge (vers $940$ nm) : c'est pourquoi le sang artériel est plus vif que le sang veineux.

II. La mesure par absorbance. Loi de Beer-Lambert : $A=\epsilon \ell c$, avec $A=\log \left(\frac{I_0}{I}\right)$. L'appareil compare l'absorption aux deux longueurs d'onde ; il isole la composante pulsatile du signal, qui varie à chaque battement cardiaque, pour ne retenir que le sang artériel. Le rapport mesuré est converti en saturation par une courbe d'étalonnage.

III. Les limites. Mauvaise circulation au doigt, mouvements, vernis à ongles, monoxyde de carbone (qui fausse la mesure) ; des études ont montré une précision moindre sur les peaux foncées, ce qui pose une question d'équité dans la conception des dispositifs médicaux.

Notions : PC — spectre d'absorption, absorbance, loi de Beer-Lambert, dosage par étalonnage ; Maths — fonction logarithme, proportionnalité, fonctions et courbes d'étalonnage.

Questions probables du jury : pourquoi deux longueurs d'onde et pas une seule ? Qu'appelle-t-on composante pulsatile ? Pourquoi la loi de Beer-Lambert n'est-elle valable que pour des solutions diluées ? Quelle saturation est normale chez une personne en bonne santé ?

Problématique : après un arrêt cardiaque, le cerveau, privé d'oxygène quelques minutes, risque des lésions graves. Les réanimateurs contrôlent la température du patient. Comment la physique modélise-t-elle ce refroidissement, et que dit la médecine de son intérêt ?

I. Le froid ralentit le métabolisme. La température est un facteur cinétique : les réactions chimiques, y compris celles qui aggravent les lésions cellulaires, ralentissent quand elle baisse ; la fièvre, à l'inverse, aggrave le pronostic.

II. Modéliser le refroidissement. Loi phénoménologique de Newton : le flux thermique est proportionnel à l'écart de température avec le milieu extérieur, ${\theta }^{\prime }(t)=-k\left(\theta (t)-{\theta }_{\text{ext}}\right)$, d'où $\theta (t)={\theta }_{\text{ext}}+\left({\theta }_0-{\theta }_{\text{ext}}\right){\mathrm{e}}^{-kt}$. On peut calculer le temps nécessaire pour atteindre une température cible.

III. Une pratique révisée par les données. Des températures cibles de $32$ à $36$ °C ont longtemps été recommandées ; des essais cliniques récents ont nuancé l'intérêt d'un refroidissement profond, et les recommandations insistent désormais surtout sur le contrôle de la température et la prévention de la fièvre. Un bel exemple de médecine qui change d'avis grâce aux preuves.

Notions : PC — transferts thermiques, loi de Newton, bilan d'énergie, facteurs cinétiques ; Maths — équations différentielles $y^{\prime }=ay+b$, exponentielle, logarithme pour résoudre $\theta (t)={\theta }_{\text{cible}}$.

Questions probables du jury : résoudre l'équation différentielle ; que représente $k$ et de quoi dépend-il ? Pourquoi le modèle de Newton est-il approximatif pour un corps humain ? Pourquoi la médecine a-t-elle modifié ses recommandations ?