Analyse

La fonction exponentielle

Propriétés algébriques, étude de $e^{u}$ et équations — l’outil de toute l’année

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Ce que tu dois savoir faire

Transformer une expression avec $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ , $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ et $(e^{a})^{n} = e^{na}$
Résoudre une équation ou une inéquation avec des exponentielles (y compris avec un changement de variable $X = e^{x}$ )
Dériver $e^{u}$ et étudier le signe d'une expression contenant $e^{x}$
Calculer des limites avec l'exponentielle et lever une forme indéterminée par croissance comparée
Modéliser une décroissance ou une croissance exponentielle (médicament, bactéries, radioactivité)

1. Définition et propriétés algébriques

Tu as rencontré l'exponentielle en première. En terminale, elle est partout : suites, limites, convexité, équations différentielles, intégrales, probabilités… Cette fiche reprend tout ce qu'il faut savoir, avec les compléments de terminale.

Définition — Fonction exponentielle

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $R$ telle que

f^{'} = f et f (0) = 1

On l'appelle fonction exponentielle et on la note $exp$ . On pose $e = exp (1) \approx 2, 718$ , et on écrit $exp (x) = e^{x}$ .

Propriété — Une exponentielle est toujours strictement positive

Pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ . En particulier, $e^{x}$ ne s'annule jamais : une équation du type $e^{x} = 0$ ou $e^{x} = - 3$ n'a aucune solution.

Démonstration — Pourquoi

e^{x}

ne s'annule pas (démonstration de première)

On pose $g (x) = e^{x} \times e^{- x}$ . En dérivant le produit : $g^{'} (x) = e^{x} e^{- x} + e^{x} \times (- e^{- x}) = 0$ . Donc $g$ est constante, égale à $g (0) = 1 \times 1 = 1$ .
Ainsi $e^{x} \times e^{- x} = 1$ pour tout $x$ : un produit qui vaut $1$ ne peut pas avoir un facteur nul. Enfin, $exp$ est continue, vaut $1$ en $0$ et ne s'annule jamais : elle ne peut pas changer de signe (sinon, par le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annulerait). Elle est donc strictement positive.

Propriété — Pour tous réels $a$ et $b$ , et tout entier relatif $n$

e^{a + b} = e^{a} \times e^{b} e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}} (e^{a})^{n} = e^{na}

Et aussi : $e^{0} = 1$ , $e^{1} = e$ , $e^{a} = e^{a /2}$ .

Exemple — Simplifier

$A = \frac{e ^{2 x + 1} \times e ^{- x}}{e ^{3}} = e^{2 x + 1 - x - 3} = e^{x - 2}$ .
$B = (e^{x})^{2} \times e^{- 2 x} + 1 = e^{2 x - 2 x} + 1 = e^{0} + 1 = 2$ .

Piège fréquent

$e^{a + b} \neq = e^{a} + e^{b}$ et $e^{2 x} \neq = 2 e^{x}$ . L'exponentielle transforme les sommes en produits, jamais en sommes. Par exemple $e^{2 x} = (e^{x})^{2}$ .

Propriété — Lien avec les suites géométriques

Pour tout réel $a$ , la suite $u_{n} = e^{na}$ est géométrique de raison $e^{a}$ , car $u_{n + 1} = e^{(n + 1) a} = e^{na} \times e^{a}$ . Par exemple, $e^{- 0, 1 n}$ est géométrique de raison $e^{- 0, 1} \approx 0, 905$ : elle décroît vers $0$ .

2. Variations, limites et courbe

Propriété — Variations

$exp^{'} = exp$ et $e^{x} > 0$ : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $R$ . Elle est même convexe (sa dérivée seconde $e^{x}$ est positive) : sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

À connaître

x \to - \infty lim e^{x} = 0 x \to + \infty lim e^{x} = + \infty

En $- \infty$ , l'axe des abscisses (la droite $y = 0$ ) est asymptote horizontale.

Démonstration exigible — Limites de

exp

+ \infty

et en

- \infty

En $+ \infty$ . On pose $g (x) = e^{x} - x$ sur $[0; + \infty [$ . Alors $g^{'} (x) = e^{x} - 1 \geq 0$ car $x \geq 0$ et $exp$ est croissante. Donc $g$ est croissante et $g (x) \geq g (0) = 1 > 0$ , d'où $e^{x} > x$ pour tout $x \geq 0$ .
Comme $x \to + \infty lim x = + \infty$ , le théorème de comparaison donne $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ .

En $- \infty$ . On écrit $e^{x} = \frac{1}{e ^{- x}}$ . Quand $x \to - \infty$ , $X = - x \to + \infty$ , donc $e^{- x} = e^{X} \to + \infty$ et son inverse tend vers $0$ : $x \to - \infty lim e^{x} = 0$ .

Tableau de variations de exp

$x$	$- \infty$	$0$	$1$	$+ \infty$
signe de $exp^{'} (x) = e^{x}$		$+$	$+$
variations de $exp$	$0$ (limite) ↗	$1$ ↗	$e$ ↗	$+ \infty$

La courbe passe par $(0; 1)$ et $(1; e)$ , s'écrase sur l'axe des abscisses en $- \infty$ et reste au-dessus de sa tangente $y = x + 1$ : pour tout réel $x$ , $e^{x} \geq x + 1$ .

Propriété — Une limite à reconnaître

x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

C'est le taux d'accroissement de $exp$ en $0$ : sa limite est le nombre dérivé $exp^{'} (0) = e^{0} = 1$ .

3. Croissances comparées

Quand $x \to + \infty$ , $e^{x}$ et $x^{n}$ tendent tous les deux vers $+ \infty$ : le quotient $\frac{e ^{x}}{x ^{n}}$ est une forme indéterminée. La réponse est toujours la même : l'exponentielle l'emporte sur n'importe quelle puissance.

À connaître

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}} = + \infty x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0 (n \in N^{*})

Cas particuliers les plus fréquents : $\frac{e ^{x}}{x} \to + \infty$ en $+ \infty$ , et $x e^{x} \to 0$ en $- \infty$ .

Démonstration exigible — Croissance comparée de

x^{n}

et de

e^{x}

+ \infty

Étape 1 : $\frac{e ^{x}}{x} \to + \infty$ . On pose $h (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}$ sur $[0; + \infty [$ . Alors $h^{'} (x) = e^{x} - x > 0$ (on a vu que $e^{x} > x$ ). Donc $h$ est croissante et $h (x) \geq h (0) = 1 > 0$ : $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ .
Pour $x > 0$ , on divise par $x$ : $\frac{e ^{x}}{x} > \frac{x}{2}$ , et $\frac{x}{2} \to + \infty$ . Par comparaison, $\frac{e ^{x}}{x} \to + \infty$ .

Étape 2 : cas de $x^{n}$ . Pour $x > 0$ , on écrit

\frac{e ^{x}}{x ^{n}} = \frac{( e ^{x / n} ) ^{n}}{x ^{n}} = \frac{1}{n ^{n}} (\frac{e ^{x / n}}{x / n})^{n}

Quand $x \to + \infty$ , $X = \frac{x}{n} \to + \infty$ , donc $\frac{e ^{X}}{X} \to + \infty$ par l'étape 1. Sa puissance $n$ -ième aussi, et le facteur constant $\frac{1}{n ^{n}} > 0$ ne change rien : $\frac{e ^{x}}{x ^{n}} \to + \infty$ .

Entre $1, 86$ et $4, 54$ environ, $x^{3}$ passe au-dessus de $e^{x}$ ; mais ensuite l'exponentielle la dépasse définitivement et s'envole.

Méthode — Lever une forme indéterminée avec une exponentielle

Repérer le terme qui « gagne » : l'exponentielle.
Factoriser par ce terme (ou par $x$ ) pour faire apparaître un quotient connu, $\frac{e ^{x}}{x}$ ou $x e^{x}$ .
Conclure avec les théorèmes d'opérations sur les limites.

Exemple — Limite de $f (x) = e^{x} - 3 x$ en $+ \infty$

C'est une forme « $\infty - \infty$ ». Pour $x > 0$ : $f (x) = x (\frac{e ^{x}}{x} - 3)$ .
Par croissance comparée, $\frac{e ^{x}}{x} \to + \infty$ , donc la parenthèse tend vers $+ \infty$ , et le produit aussi : $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .

Exemple — Limite de $g (x) = x^{2} e^{- x}$ en $+ \infty$

On écrit $g (x) = \frac{x ^{2}}{e ^{x}} = \frac{1}{e ^{x} / x ^{2}}$ . Le dénominateur tend vers $+ \infty$ par croissance comparée, donc $g (x) \to 0$ .

4. La fonction e^u

Propriété — Dérivée de $e^{u}$

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ , alors $x \mapsto e^{u (x)}$ est dérivable sur $I$ et

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

Comme $e^{u} > 0$ , cette dérivée a le signe de $u^{'}$ : $e^{u}$ a les mêmes variations que $u$ .

À connaître

(e^{a x + b})^{'} = a e^{a x + b} (e^{- k t})^{'} = - k e^{- k t}

Le cas affine, de loin le plus fréquent.

Exemple — Étudier $f (x) = e^{- x^{2}}$

Avec $u (x) = - x^{2}$ et $u^{'} (x) = - 2 x$ : $f^{'} (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$ , du signe de $- 2 x$ .
$f$ est croissante sur $] - \infty; 0]$ , décroissante sur $[0; + \infty [$ , de maximum $f (0) = 1$ . En $\pm \infty$ , $- x^{2} \to - \infty$ donc $f (x) \to 0$ (composition de limites).

La « courbe en cloche » de $e^{- x^{2}}$ : on la retrouvera en statistique et en probabilités dans le supérieur.

Méthode — Étudier le signe d'une expression contenant $e^{x}$

Un facteur $e^{\dots}$ est toujours strictement positif : il ne change pas le signe. Il suffit d'étudier le signe des autres facteurs.
Exemple : $f^{'} (x) = (2 - x) e^{x}$ a le signe de $2 - x$ , positif sur $] - \infty; 2 [$ et négatif sur $] 2; + \infty [$ .

Exemple — Décroissance exponentielle : élimination d’un médicament

La concentration d'un médicament injecté est modélisée par $C (t) = 12 e^{- 0, 3 t}$ (en mg/L, $t$ en heures).
$C^{'} (t) = 12 \times (- 0, 3) e^{- 0, 3 t} = - 3, 6 e^{- 0, 3 t} < 0$ : la concentration diminue sans jamais s'annuler, et $C (t) \to 0$ quand $t \to + \infty$ .
Au bout de $5$ h, il reste $C (5) = 12 e^{- 1, 5} \approx 2, 68$ mg/L.

5. Équations et inéquations

Propriété — Stricte croissance

Pour tous réels $a$ et $b$ :

e^{a} = e^{b} ⟺ a = b e^{a} < e^{b} ⟺ a < b

Et pour $k > 0$ : $e^{x} = k ⟺ x = ln k$ . Si $k \leq 0$ , l'équation $e^{x} = k$ n'a pas de solution.

Exemple — Résoudre $e^{3 x - 1} \geq e^{x + 2}$

Par stricte croissance de $exp$ : $3 x - 1 \geq x + 2 ⟺ 2 x \geq 3 ⟺ x \geq \frac{3}{2}$ . $S = [\frac{3}{2}; + \infty [$ .

Méthode — Changement de variable $X = e^{x}$

Quand l'équation contient $e^{2 x}$ et $e^{x}$ :

Écrire $e^{2 x} = (e^{x})^{2}$ et poser $X = e^{x}$ , avec $X > 0$ .
Résoudre l'équation du second degré en $X$ .
Rejeter les valeurs $X \leq 0$ , puis revenir à $x$ avec $x = ln X$ .

Exemple — Résoudre $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$

On pose $X = e^{x} > 0$ : $X^{2} - 3 X + 2 = 0$ . $Δ = 9 - 8 = 1$ , d'où $X = 1$ ou $X = 2$ (toutes deux positives).
$e^{x} = 1 ⟺ x = 0$ et $e^{x} = 2 ⟺ x = ln 2$ . $S = {0; ln 2}$ .

Exemple — Croissance bactérienne

Une population de bactéries est modélisée par $N (t) = 500 e^{0, 4 t}$ ( $t$ en heures). Quand dépasse-t-elle $10000$ ?
$500 e^{0, 4 t} > 10000 ⟺ e^{0, 4 t} > 20 ⟺ 0, 4 t > ln 20 ⟺ t > \frac{ln 20}{0 , 4} \approx 7, 49$ .
Il faut un peu moins de 7 h 30.

Conseil bac

Au bac, pense à écrire « car $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ » chaque fois que tu simplifies ou que tu étudies un signe grâce à l'exponentielle : c'est la justification attendue, et elle rapporte des points.

L’essentiel à retenir

$exp^{'} = exp$ , $e^{0} = 1$ , $e \approx 2, 718$ , et $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ .
$e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ , $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ , $(e^{a})^{n} = e^{na}$ — mais $e^{a + b} \neq = e^{a} + e^{b}$ .
$exp$ est strictement croissante et convexe : $e^{a} < e^{b} ⟺ a < b$ , et $e^{x} \geq x + 1$ .
$x \to - \infty lim e^{x} = 0$ et $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$ .
Croissances comparées : $\frac{e ^{x}}{x ^{n}} \to + \infty$ en $+ \infty$ et $x^{n} e^{x} \to 0$ en $- \infty$ .
$(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ : $e^{u}$ a les variations de $u$ .
Un facteur $e^{\dots}$ ne change jamais le signe d'un produit.
Avec $e^{2 x}$ et $e^{x}$ , poser $X = e^{x} > 0$ et rejeter les solutions négatives.

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