Analyse

La fonction logarithme népérien

Définition, propriétés algébriques, étude de la fonction et équations

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Ce que tu dois savoir faire

Utiliser l'équivalence $e^{x} = y ⟺ x = ln y$ pour passer d'une écriture à l'autre
Transformer une expression avec $ln (ab)$ , $ln (\frac{a}{b})$ et $ln (a^{n})$
Résoudre des équations et inéquations avec $ln$ ou $e$ , en vérifiant le domaine
Étudier une fonction de la forme $ln (u (x))$ : dérivée, variations, limites
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $q^{n} < ε$ (le classique du bac)

1. Définition : la réciproque de l’exponentielle

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $R$ , et prend toutes les valeurs de $] 0; + \infty [$ . Pour tout réel $y > 0$ , l'équation $e^{x} = y$ a donc une unique solution : c'est elle qu'on appelle logarithme népérien de $y$ .

Définition — Logarithme népérien

Pour tout réel $a > 0$ , $ln a$ est l'unique réel dont l'exponentielle vaut $a$ :

e^{x} = a ⟺ x = ln a (a > 0)

La fonction $ln$ est définie sur $] 0; + \infty [$ seulement : $ln 0$ et $ln (- 2)$ n'existent pas.

À connaître

ln (e^{x}) = x pour tout x \in R e^{l n x} = x pour tout x > 0

Les deux fonctions « s'annulent » l'une l'autre.

Valeurs à connaître

$x$	$1$	$e$	$\frac{1}{e}$	$e^{2}$
$ln x$	$0$	$1$	$- 1$	$2$

Les courbes de $exp$ et de $ln$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ : c'est la signature de deux fonctions réciproques.

2. Propriétés algébriques

Le logarithme transforme les produits en sommes — c'est pour cela qu'il a été inventé au XVIIᵉ siècle, pour simplifier les calculs des astronomes.

Propriété — Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ , et tout entier $n$

ln (ab) = ln a + ln b ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b

ln (\frac{1}{b}) = - ln b ln (a^{n}) = n ln a ln a = \frac{1}{2} ln a

Démonstration exigible — Démonstration de

ln (ab) = ln a + ln b

Par définition, $e^{l n (ab)} = ab$ . D'autre part, $e^{l n a + l n b} = e^{l n a} \times e^{l n b} = a \times b$ .
Les deux nombres $ln (ab)$ et $ln a + ln b$ ont donc la même exponentielle. Comme $exp$ est strictement croissante, elle est injective : deux réels qui ont la même image sont égaux. Donc $ln (ab) = ln a + ln b$ .

Exemple — Simplifier

$A = ln 12 - ln 3 + 2 ln 2 = ln (\frac{12}{3}) + ln (2^{2}) = ln 4 + ln 4 = 2 ln 4 = 4 ln 2$ .

Piège fréquent

$ln (a + b) \neq = ln a + ln b$ . Aucune formule ne simplifie le logarithme d'une somme : $ln (1 + 1) = ln 2 \approx 0, 69$ , alors que $ln 1 + ln 1 = 0$ .

3. Étude de la fonction ln

Propriété — Dérivée

La fonction $ln$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et

(ln x)^{'} = \frac{1}{x}

Comme $\frac{1}{x} > 0$ sur $] 0; + \infty [$ , la fonction $ln$ est strictement croissante.

Démonstration — Pourquoi

\frac{1}{x}

Pour $x > 0$ , on a $e^{l n x} = x$ . On dérive les deux membres (dérivée d'une composée) : $(ln x)^{'} \times e^{l n x} = 1$ , soit $(ln x)^{'} \times x = 1$ , donc $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .

Signe de ln x

$x$	$] 0; 1 [$	$1$	$] 1; + \infty [$
$ln x$	négatif	$0$	positif

Propriété — Conséquences de la stricte croissance

Pour tous $a > 0$ et $b > 0$ :

ln a = ln b ⟺ a = b ln a < ln b ⟺ a < b

À connaître

x \to 0^{+} lim ln x = - \infty x \to + \infty lim ln x = + \infty

L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe.

Propriété — Croissances comparées

Le logarithme tend vers l'infini, mais plus lentement que n'importe quelle puissance de $x$ :

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0 x \to 0^{+} lim x ln x = 0

Et plus généralement, pour tout entier $n \geq 1$ : $x \to + \infty lim \frac{l n x}{x ^{n}} = 0$ .

Propriété — Une limite à reconnaître

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1

C'est le nombre dérivé de $x \mapsto ln (1 + x)$ en $0$ ; il sert à lever des formes indéterminées.

4. La fonction ln(u)

Propriété — Dérivée de $ln (u)$

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ , alors $x \mapsto ln (u (x))$ est dérivable sur $I$ et

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

Comme $u > 0$ , la dérivée a le signe de $u^{'}$ : $ln (u)$ a les mêmes variations que $u$ .

Exemple — Dériver $f (x) = ln (x^{2} + 1)$

On pose $u (x) = x^{2} + 1$ , qui est strictement positive sur $R$ , et $u^{'} (x) = 2 x$ .
Donc $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ , du signe de $x$ : $f$ est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ , avec un minimum $f (0) = ln 1 = 0$ .

La fonction $ln (x^{2} + 1)$ suit les variations de $x^{2} + 1$ .

5. Équations et inéquations

Méthode — Résoudre une équation avec ln

Domaine : écrire les conditions pour que chaque $ln (\dots)$ existe (l'argument doit être strictement positif).
Regrouper en un seul logarithme de chaque côté avec les propriétés algébriques.
Supprimer les logarithmes : $ln A = ln B ⟺ A = B$ (ou appliquer $exp$ : $ln A = k ⟺ A = e^{k}$ ).
Vérifier que les solutions trouvées sont dans le domaine — sinon on les rejette.

Exemple — Résoudre $ln (x - 1) + ln (x + 1) = ln 3$

Domaine : $x - 1 > 0$ et $x + 1 > 0$ , soit $x > 1$ .
Sur ce domaine : $ln ((x - 1) (x + 1)) = ln 3 ⟺ x^{2} - 1 = 3 ⟺ x^{2} = 4 ⟺ x = 2$ ou $x = - 2$ .
$- 2$ n'est pas dans le domaine : $S = {2}$ .

Méthode — Le plus petit $n$ tel que $q^{n} < ε$ (avec $0 < q < 1$ )

On applique $ln$ , qui est croissante donc conserve l'ordre : $q^{n} < ε ⟺ n ln q < ln ε$ .
Attention : $ln q < 0$ car $q < 1$ . En divisant par un négatif, on change le sens :

n > \frac{ln ε}{ln q}

Puis on prend le premier entier qui convient.

Exemple — Un médicament éliminé de 20 % par heure

Il reste $100 \times 0, 8^{n}$ mg de médicament après $n$ heures. Quand passe-t-on sous $5$ mg ?
$100 \times 0, 8^{n} < 5 ⟺ 0, 8^{n} < 0, 05 ⟺ n ln 0, 8 < ln 0, 05 ⟺ n > \frac{ln 0 , 05}{ln 0 , 8} \approx 13, 4$ .
Il faut attendre 14 heures.

Conseil bac

Au bac, cette question arrive presque toujours à la fin d'un exercice de suites. Rédige les équivalences une par une, et écris explicitement « car $ln 0, 8 < 0$ » au moment où tu changes le sens de l'inégalité : c'est le point que le correcteur cherche.

L’essentiel à retenir

$ln$ n'est définie que sur $] 0; + \infty [$ : commence toujours par le domaine.
$e^{x} = a ⟺ x = ln a$ (pour $a > 0$ ) ; $ln 1 = 0$ et $ln e = 1$ .
$ln (ab) = ln a + ln b$ , $ln \frac{a}{b} = ln a - ln b$ , $ln (a^{n}) = n ln a$ — mais rien pour $ln (a + b)$ .
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ et $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ : $ln u$ a les variations de $u$ .
$ln$ est strictement croissante : $ln a < ln b ⟺ a < b$ .
$ln x$ est négatif sur $] 0; 1 [$ et positif sur $] 1; + \infty [$ .
Croissances comparées : $\frac{l n x}{x} \to 0$ en $+ \infty$ et $x ln x \to 0$ en $0^{+}$ .
Diviser par $ln q$ avec $0 < q < 1$ , c'est diviser par un négatif : on change le sens.

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