Analyse

Fonctions sinus et cosinus

Cercle trigonométrique, parité, périodicité, dérivées et équations

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Ce que tu dois savoir faire

Placer un réel sur le cercle trigonométrique et lire son cosinus et son sinus
Connaître les valeurs remarquables et les formules des angles associés
Utiliser la parité et la périodicité de $sin$ et $cos$
Dériver $sin (u)$ et $cos (u)$ , en particulier $sin (a x + b)$ et $cos (a x + b)$
Résoudre $cos x = a$ , $sin x = a$ et des inéquations simples sur un intervalle

1. Le cercle trigonométrique

Définition — Cosinus et sinus d’un réel

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. À tout réel $x$ correspond un point $M (x)$ du cercle (on « enroule » la droite des réels autour du cercle, $0$ étant placé en $I (1; 0)$ ).
Le cosinus de $x$ est l'abscisse de $M (x)$ , le sinus de $x$ est son ordonnée.

Lire cos x et sin x

$cos x$ se lit sur l'axe horizontal, $sin x$ sur l'axe vertical. Un tour complet mesure $2 π$ : les réels $x$ et $x + 2 π$ donnent le même point.

Propriété — Pour tout réel x

- 1 \leq cos x \leq 1 - 1 \leq sin x \leq 1 cos^{2} x + sin^{2} x = 1

La troisième égalité est le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par $O$ , $M$ et le projeté de $M$ sur l'axe des abscisses.

Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$
$cos x$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$

Conseil bac

Pour retenir la ligne des sinus : $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ — la ligne des cosinus est la même, lue à l'envers.

Exemple — Calculer un cosinus connaissant le sinus

On sait que $sin x = \frac{3}{5}$ et $x \in [\frac{π}{2}; π]$ . Alors $cos^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , donc $cos x = \frac{4}{5}$ ou $cos x = - \frac{4}{5}$ .
Sur $[\frac{π}{2}; π]$ , le point $M (x)$ est à gauche de l'axe vertical : $cos x \leq 0$ . Donc $cos x = - \frac{4}{5}$ .

2. Angles associés

Les symétries du cercle donnent des relations entre les cosinus et sinus de $x$ , $- x$ , $π - x$ , $π + x$ … Plutôt que de les apprendre par cœur, retrouve-les sur un cercle dessiné au brouillon : $- x$ est le symétrique de $x$ par rapport à l'axe des abscisses, $π - x$ par rapport à l'axe des ordonnées, $π + x$ par rapport à $O$ .

Les formules à savoir retrouver

angle	$- x$	$π - x$	$π + x$	$\frac{π}{2} - x$	$x + 2 π$
cosinus	$cos x$	$- cos x$	$- cos x$	$sin x$	$cos x$
sinus	$- sin x$	$sin x$	$- sin x$	$cos x$	$sin x$

Exemple — Calculer $cos (\frac{5 π}{6})$ et $sin (- \frac{2 π}{3})$

$\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}$ , donc $cos (\frac{5 π}{6}) = - cos (\frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$ .
$sin (- \frac{2 π}{3}) = - sin (\frac{2 π}{3}) = - sin (π - \frac{π}{3}) = - sin (\frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}$ .

Méthode — Trouver la mesure principale d’un angle

La mesure principale de $x$ est l'unique réel de $] - π; π]$ qui donne le même point sur le cercle. On retire (ou on ajoute) des tours complets $2 π$ .
Exemple : $\frac{17 π}{6} = \frac{12 π}{6} + \frac{5 π}{6} = 2 π + \frac{5 π}{6}$ . La mesure principale est $\frac{5 π}{6}$ , donc $cos \frac{17 π}{6} = cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ .

3. Les fonctions sinus et cosinus

Propriété — Périodicité et parité

Pour tout réel $x$ :

$cos (x + 2 π) = cos x$ et $sin (x + 2 π) = sin x$ : les deux fonctions sont périodiques de période $2 π$ ;
$cos (- x) = cos x$ : la fonction cosinus est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ;
$sin (- x) = - sin x$ : la fonction sinus est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).

Conséquence : il suffit d'étudier ces fonctions sur $[0; π]$ , puis de compléter par symétrie et par translation.

Propriété — Dérivées

Les fonctions $sin$ et $cos$ sont dérivables sur $R$ et

sin^{'} = cos cos^{'} = - sin

Démonstration — La limite

x \to 0 lim \frac{s i n x}{x} = 1

$\frac{s i n x}{x} = \frac{s i n x - s i n 0}{x - 0}$ est le taux d'accroissement de $sin$ en $0$ . Comme $sin$ est dérivable en $0$ , ce taux tend vers $sin^{'} (0) = cos 0 = 1$ .
Cette limite sert à lever la forme indéterminée « $\frac{0}{0}$ » ; de même, $x \to 0 lim \frac{c o s x - 1}{x} = cos^{'} (0) = - sin 0 = 0$ .

Variations sur [0 ; π]

$x$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$
$cos^{'} (x) = - sin x$	$0$	$-$	$0$
$cos$	$1$ ↘	$0$ ↘	$- 1$
$sin^{'} (x) = cos x$	$+$	$0$	$-$
$sin$	$0$ ↗	$1$ (maximum)	↘ $0$

Graduations tous les $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ . La courbe du cosinus est celle du sinus décalée de $\frac{π}{2}$ vers la gauche, car $cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ .

4. Dériver sin(u) et cos(u)

Propriété — Dérivées de composées

Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ :

(sin u)^{'} = u^{'} cos u (cos u)^{'} = - u^{'} sin u

En particulier, pour des réels $a$ et $b$ : $(sin (a x + b))^{'} = a cos (a x + b)$ et $(cos (a x + b))^{'} = - a sin (a x + b)$ .

Propriété — Période d’une fonction sinusoïdale

Pour $ω > 0$ , les fonctions $t \mapsto sin (ω t)$ et $t \mapsto cos (ω t)$ sont périodiques de période

T = \frac{2 π}{ω}

car $sin (ω (t + T)) = sin (ω t + 2 π) = sin (ω t)$ .

Exemple — Dériver $f (x) = 3 cos (2 x) - sin^{2} x$

$(cos (2 x))^{'} = - 2 sin (2 x)$ , et $sin^{2} x = (sin x)^{2}$ se dérive comme $u^{2}$ : $(u^{2})^{'} = 2 u^{'} u$ , soit $2 cos x sin x$ .
Donc $f^{'} (x) = - 6 sin (2 x) - 2 sin x cos x$ .

Exemple — Un signal sinusoïdal : la respiration

Le volume d'air dans les poumons au repos est modélisé par $V (t) = 2, 5 + 0, 25 sin (\frac{2 π}{5} t)$ (en litres, $t$ en secondes).
Période : $T = \frac{2 π}{2 π /5} = 5$ s, soit $12$ respirations par minute. Le volume oscille entre $2, 25$ L et $2, 75$ L.
$V^{'} (t) = 0, 25 \times \frac{2 π}{5} cos (\frac{2 π}{5} t) = 0, 1 π cos (\frac{2 π}{5} t)$ : c'est le débit d'air (positif à l'inspiration, négatif à l'expiration).

Piège fréquent

$(cos x)^{'} = - sin x$ : n'oublie pas le signe moins. Et $(sin (2 x))^{'} = 2 cos (2 x)$ , pas $cos (2 x)$ : le facteur $u^{'}$ est obligatoire.

5. Équations et inéquations trigonométriques

Propriété — Équations de référence

Pour tous réels $x$ et $a$ :

cos x = cos a ⟺ x = a + 2 kπ ou x = - a + 2 kπ (k \in Z)

sin x = sin a ⟺ x = a + 2 kπ ou x = π - a + 2 kπ (k \in Z)

Méthode — Résoudre cos x = c sur un intervalle

Si $c < - 1$ ou $c > 1$ : aucune solution.
Sinon, trouver une valeur remarquable $a$ telle que $cos a = c$ (tableau des valeurs, angles associés).
Écrire $cos x = cos a$ , et lister les solutions $\pm a + 2 kπ$ qui sont dans l'intervalle demandé.
Contrôler sur un cercle : la droite verticale d'abscisse $c$ coupe le cercle en (au plus) deux points.

Résoudre cos x = 1/2

Sur $] - π; π]$ , $cos x = \frac{1}{2} ⟺ x = - \frac{π}{3}$ ou $x = \frac{π}{3}$ . Et $cos x \geq \frac{1}{2} ⟺ x \in [- \frac{π}{3}; \frac{π}{3}]$ : c'est l'arc vert, à droite de la droite.

Exemple — Résoudre $2 sin x + 1 = 0$ sur $[0; 2 π [$

$sin x = - \frac{1}{2} = sin (- \frac{π}{6})$ . Les solutions réelles sont $x = - \frac{π}{6} + 2 kπ$ ou $x = π + \frac{π}{6} + 2 kπ = \frac{7 π}{6} + 2 kπ$ .
Dans $[0; 2 π [$ : $- \frac{π}{6} + 2 π = \frac{11 π}{6}$ et $\frac{7 π}{6}$ . $S = {\frac{7 π}{6}; \frac{11 π}{6}}$ .

Exemple — Résoudre $sin x \geq \frac{1}{2}$ sur $[0; 2 π]$

Sur le cercle, $sin x \geq \frac{1}{2}$ correspond aux points situés au-dessus de la droite horizontale $y = \frac{1}{2}$ , qui coupe le cercle en $\frac{π}{6}$ et $π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ . $S = [\frac{π}{6}; \frac{5 π}{6}]$ .

Conseil bac

Au bac, un dessin du cercle avec la droite $x = c$ (ou $y = c$ ) suffit à justifier une inéquation trigonométrique, à condition de bien indiquer l'intervalle d'étude et de lire l'arc dans le sens direct.

L’essentiel à retenir

$cos x$ = abscisse, $sin x$ = ordonnée du point $M (x)$ du cercle trigonométrique ; $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ .
Valeurs remarquables en $0, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ : à connaître sans hésiter.
$cos$ est paire, $sin$ est impaire, et les deux sont $2 π$ -périodiques.
$sin^{'} = cos$ et $cos^{'} = - sin$ ; $(sin u)^{'} = u^{'} cos u$ et $(cos u)^{'} = - u^{'} sin u$ .
$sin (ω t)$ et $cos (ω t)$ ont pour période $\frac{2 π}{ω}$ .
$x \to 0 lim \frac{s i n x}{x} = 1$ (nombre dérivé de $sin$ en $0$ ).
$cos x = cos a ⟺ x = \pm a + 2 kπ$ ; $sin x = sin a ⟺ x = a + 2 kπ$ ou $x = π - a + 2 kπ$ .
Pour une inéquation, dessine le cercle et la droite $x = c$ ou $y = c$ , puis lis l'arc solution.

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