Analyse

Primitives et équations différentielles

Calcul de primitives, équations $y^{'} = a y$ et $y^{'} = a y + b$

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Ce que tu dois savoir faire

Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle, ou primitive d'une fonction
Calculer une primitive à l'aide du tableau usuel et des formes $u^{'} u^{n}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ , $u^{'} e^{u}$
Déterminer la primitive qui prend une valeur donnée en un point
Résoudre $y^{'} = a y$ et $y^{'} = a y + b$ , puis trouver la solution vérifiant une condition initiale
Utiliser une solution particulière fournie pour résoudre $y^{'} = a y + f$
Modéliser une évolution (médicament, population, refroidissement) par une équation différentielle

1. Équations différentielles et primitives

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$ , et qui relie $y$ à ses dérivées. Par exemple $y^{'} = 2 y$ signifie : « trouver toutes les fonctions dérivables dont la dérivée vaut, en tout point, deux fois la fonction elle-même ». C'est le langage naturel des sciences : la vitesse d'élimination d'un médicament est proportionnelle à la quantité présente, la croissance d'une population à son effectif, etc.

Définition — Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que

F^{'} (x) = f (x) pour tout x \in I

Autrement dit, $F$ est une solution de l'équation différentielle $y^{'} = f$ .

Exemple — Vérifier une primitive

Montrons que $F (x) = x ln x - x$ est une primitive de $f (x) = ln x$ sur $] 0; + \infty [$ :
$F^{'} (x) = 1 \times ln x + x \times \frac{1}{x} - 1 = ln x + 1 - 1 = ln x$ . ✔
Pour vérifier une primitive, on dérive : c'est toujours plus simple que de la chercher.

Théorème — Existence (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$ .

Propriété — Toutes les primitives

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ , alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F (x) + C$ , où $C$ est une constante réelle.
Pour $x_{0} \in I$ et $y_{0}$ réel donnés, il existe une unique primitive $G$ de $f$ telle que $G (x_{0}) = y_{0}$ .

Démonstration — Deux primitives diffèrent d’une constante

Soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur $I$ . Alors $(G - F)^{'} = G^{'} - F^{'} = f - f = 0$ sur $I$ .
Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe un réel $C$ tel que $G (x) - F (x) = C$ , soit $G = F + C$ .
Réciproquement, $(F + C)^{'} = F^{'} = f$ : toute fonction $F + C$ est bien une primitive.

2. Calculer des primitives

Primitives des fonctions usuelles

fonction $f$	une primitive $F$	sur l'intervalle
$k$ (constante)	$k x$	$R$
$x^{n}$ ( $n \in N$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$R$
$\frac{1}{x ^{2}}$	$- \frac{1}{x}$	$] - \infty; 0 [$ ou $] 0; + \infty [$
$\frac{1}{x}$	$ln x$	$] 0; + \infty [$
$\frac{1}{x}$	$2 x$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$R$
$cos x$	$sin x$	$R$
$sin x$	$- cos x$	$R$

Propriété — Linéarité

Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ , et $k$ un réel, alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ et $k F$ est une primitive de $k f$ .

Formes composées (u dérivable sur I)

fonction	une primitive	condition
$u^{'} u^{n}$ ( $n \in N$ )	$\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{u ^{'}}{u ^{2}}$	$- \frac{1}{u}$	$u$ ne s'annule pas
$\frac{u ^{'}}{u}$	$ln u$	$u > 0$
$\frac{u ^{'}}{u}$	$2 u$	$u > 0$
$u^{'} e^{u}$	$e^{u}$
$u^{'} cos u$ ; $u^{'} sin u$	$sin u$ ; $- cos u$

Méthode — Reconnaître une forme et ajuster la constante

Repérer la fonction « intérieure » $u$ et calculer $u^{'}$ .
Si l'expression est $u^{'}$ à un facteur constant près, faire apparaître $u^{'}$ en multipliant et divisant par ce facteur.
Appliquer la formule du tableau, puis vérifier en dérivant.

Exemple — Trois primitives

$f (x) = x e^{x^{2}}$ : avec $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ , on écrit $f = \frac{1}{2} \times 2 x e^{x^{2}}$ . Donc $F (x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}}$ .
$g (x) = \frac{3}{3 x + 1}$ sur $] - \frac{1}{3}; + \infty [$ : c'est $\frac{u ^{'}}{u}$ avec $u = 3 x + 1 > 0$ . Donc $G (x) = ln (3 x + 1)$ .
$h (x) = (2 x - 1)^{3}$ : avec $u = 2 x - 1$ , $u^{'} = 2$ , on écrit $h = \frac{1}{2} \times 2 (2 x - 1)^{3}$ . Donc $H (x) = \frac{1}{2} \times \frac{( 2 x - 1 ) ^{4}}{4} = \frac{( 2 x - 1 ) ^{4}}{8}$ .

Piège fréquent

On ne peut ajuster qu'un facteur constant. Une primitive de $e^{x^{2}}$ (sans le $x$ devant) ne s'obtient pas avec ces formules : diviser par $2 x$ « pour faire apparaître $u^{'}$ » est faux, car $x$ n'est pas une constante.

3. L’équation y’ = ay

Théorème — Solutions de $y^{'} = a y$ ( $a$ réel)

Les solutions sur $R$ de l'équation différentielle $y^{'} = a y$ sont les fonctions

x \mapsto C e^{a x} o \overset{u}{ˋ} C est une constante r \overset{e}{ˊ} elle

Pour tous réels $x_{0}$ et $y_{0}$ , il existe une unique solution vérifiant $y (x_{0}) = y_{0}$ .

Démonstration exigible — Résolution de

y^{'} = a y

Ces fonctions sont solutions. Si $f (x) = C e^{a x}$ , alors $f^{'} (x) = a C e^{a x} = a f (x)$ .

Ce sont les seules. Soit $f$ une solution sur $R$ . On pose $g (x) = f (x) e^{- a x}$ . Alors

g^{'} (x) = f^{'} (x) e^{- a x} - a f (x) e^{- a x} = (f^{'} (x) - a f (x)) e^{- a x} = 0

car $f^{'} = a f$ . La fonction $g$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $R$ : elle est constante, égale à un réel $C$ . Donc $f (x) e^{- a x} = C$ , c'est-à-dire $f (x) = C e^{a x}$ .

Unicité avec condition initiale. $C e^{a x_{0}} = y_{0} ⟺ C = y_{0} e^{- a x_{0}}$ : une seule valeur de $C$ convient.

Quelques solutions de $y^{'} = - 0, 5 y$ : $y = C e^{- 0, 5 x}$ . Par chaque point du plan passe une seule courbe : c'est la condition initiale qui fixe $C$ (ici $y (0) = 2$ donne $C = 2$ ).

Exemple — Croissance d’une population de bactéries

Une culture contient $N (0) = 1000$ bactéries, et sa vitesse de croissance est proportionnelle à son effectif : $N^{'} (t) = 0, 7 N (t)$ ( $t$ en heures).
Les solutions sont $N (t) = C e^{0, 7 t}$ , et $N (0) = C = 1000$ . Donc $N (t) = 1000 e^{0, 7 t}$ .
Temps de doublement : $e^{0, 7 t} = 2 ⟺ t = \frac{l n 2}{0 , 7} \approx 0, 99$ h, environ une heure.

Piège fréquent

Le coefficient de $x$ dans l'exponentielle est $a$ , pas $\frac{1}{a}$ : les solutions de $y^{'} = 3 y$ sont $C e^{3 x}$ . Et la constante $C$ se met devant l'exponentielle, pas en exposant ni ajoutée.

4. Les équations y’ = ay + b et y’ = ay + f

Théorème — Solutions de $y^{'} = a y + b$ ( $a \neq = 0$ )

La fonction constante $x \mapsto - \frac{b}{a}$ est une solution particulière. Les solutions sur $R$ de $y^{'} = a y + b$ sont les fonctions

x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a} (C \in R)

Méthode — Résoudre $y^{'} = a y + b$ avec une condition initiale

Solution constante : $y$ constante $\Rightarrow y^{'} = 0$ , donc $0 = a y + b$ , soit $y = - \frac{b}{a}$ .
Solution générale : $y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ .
Condition initiale : remplacer $x$ par $x_{0}$ pour trouver $C$ .

Exemple — Une perfusion

Un patient reçoit un médicament par perfusion à débit constant de $4$ mg/h, et son organisme en élimine $20 %$ par heure. La quantité $Q (t)$ (en mg) vérifie $Q^{'} = - 0, 2 Q + 4$ , avec $Q (0) = 0$ .

Solution constante : $0 = - 0, 2 Q + 4 ⟺ Q = 20$ .
Solution générale : $Q (t) = C e^{- 0, 2 t} + 20$ .
$Q (0) = C + 20 = 0 ⟺ C = - 20$ . Donc $Q (t) = 20 - 20 e^{- 0, 2 t} = 20 (1 - e^{- 0, 2 t})$ .

La quantité augmente et se stabilise vers le plateau $20$ mg, qui est la solution constante : l'apport ( $4$ mg/h) compense exactement l'élimination ( $0, 2 \times 20 = 4$ mg/h).

Propriété — Équation $y^{'} = a y + f$ avec une solution particulière

Si $p$ est une solution particulière de $y^{'} = a y + f$ (souvent donnée par l'énoncé), alors

y est solution de y^{'} = a y + f ⟺ y - p est solution de y^{'} = a y

Les solutions sont donc les fonctions $x \mapsto C e^{a x} + p (x)$ .

Exemple — Résoudre $y^{'} = - y + 2 x$

L'énoncé suggère de chercher une solution affine $p (x) = m x + q$ . Alors $p^{'} = m$ et $- p (x) + 2 x = (2 - m) x - q$ . Il faut $2 - m = 0$ et $- q = m$ : $m = 2$ , $q = - 2$ , donc $p (x) = 2 x - 2$ .
Les solutions sont $y (x) = C e^{- x} + 2 x - 2$ , $C \in R$ .

5. Approcher une solution : la méthode d’Euler

Quand on ne sait pas résoudre une équation différentielle, on peut approcher sa solution pas à pas. L'idée : sur un petit intervalle de longueur $h$ , la courbe est proche de sa tangente, donc

y (t + h) \approx y (t) + h y^{'} (t)

Méthode — Méthode d'Euler pour $y^{'} = a y + b$

On part de $(t_{0}; y_{0})$ et on choisit un pas $h$ . On construit $t_{k + 1} = t_{k} + h$ et

y_{k + 1} = y_{k} + h (a y_{k} + b)

Plus $h$ est petit, meilleure est l'approximation (mais plus il faut de calculs).

def euler(a, b, y0, h, n):
    """Renvoie la liste des n + 1 valeurs approchées de y."""
    y = y0
    valeurs = [y]
    for k in range(n):
        y = y + h * (a * y + b)
        valeurs.append(y)
    return valeurs

# y' = y, y(0) = 1 : approcher y(1) = e avec 10 pas de 0,1
print(euler(1, 0, 1, 0.1, 10)[-1])   # 2.5937... (e = 2.71828...)

Exemple — Pourquoi 2,5937 ?

Pour $y^{'} = y$ , la relation devient $y_{k + 1} = y_{k} + 0, 1 y_{k} = 1, 1 y_{k}$ : la suite est géométrique, et $y_{10} = 1, 1^{10} \approx 2, 594$ . La vraie valeur est $e \approx 2, 718$ ; avec $100$ pas de $0, 01$ , on obtient $1, 0 1^{100} \approx 2, 705$ .

Conseil bac

Au bac, la méthode d'Euler peut apparaître dans une question d'algorithmique : on te demande de compléter une boucle. Repère la ligne qui fait avancer $y$ : elle a toujours la forme « nouveau $y$ = ancien $y$ + pas × dérivée ».

L’essentiel à retenir

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F^{'} = f$ ; pour vérifier, on dérive.
Les primitives de $f$ sur un intervalle sont les $F + C$ ; une condition $F (x_{0}) = y_{0}$ fixe $C$ .
Formes à reconnaître : $u^{'} u^{n} \to \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ , $\frac{u ^{'}}{u} \to ln u$ , $u^{'} e^{u} \to e^{u}$ , $\frac{u ^{'}}{u ^{2}} \to - \frac{1}{u}$ .
On n'ajuste qu'un facteur constant pour faire apparaître $u^{'}$ .
Solutions de $y^{'} = a y$ : $C e^{a x}$ .
Solutions de $y^{'} = a y + b$ ( $a \neq = 0$ ) : $C e^{a x} - \frac{b}{a}$ ; la constante $- \frac{b}{a}$ est la solution d'équilibre.
Pour $y^{'} = a y + f$ : solution générale = $C e^{a x}$ + une solution particulière.
Méthode d'Euler : $y_{k + 1} = y_{k} + h y_{k}^{'}$ .

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