Analyse

Calcul intégral

Intégrale et aire, propriétés, intégration par parties et valeur moyenne

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Ce que tu dois savoir faire

Interpréter une intégrale comme une aire, et lire une intégrale sur un graphique
Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive : $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$
Utiliser la linéarité, la relation de Chasles et la positivité pour calculer ou encadrer
Calculer l'aire entre deux courbes et la valeur moyenne d'une fonction
Mener une intégration par parties
Approcher une intégrale par la méthode des rectangles

1. L’intégrale d’une fonction positive : une aire

Définition — Intégrale d’une fonction continue positive

Dans un repère orthogonal, l'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle construit sur les vecteurs unités.
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a; b]$ , de courbe $C_{f}$ . L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ , notée

\int_{a}^{b} f (x) d x

est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ .

L'aire colorée est $\int_{0}^{3} (\frac{x ^{2}}{4} + 1) d x = 5, 25$ u.a. (on la calculera plus bas avec une primitive).

La variable $x$ est muette : $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . Le symbole $\int$ est un S allongé, pour « somme » : l'intégrale est une somme d'une infinité de rectangles infiniment fins, de hauteur $f (x)$ et de largeur $d x$ .

Exemple — Avec la géométrie

$\int_{0}^{2} x d x$ est l'aire du triangle rectangle de sommets $(0; 0)$ , $(2; 0)$ et $(2; 2)$ : $\frac{2 \times 2}{2} = 2$ .
$\int_{- 1}^{3} 5 d x$ est l'aire d'un rectangle de côtés $4$ et $5$ : $20$ .

Méthode — Approcher une intégrale : la méthode des rectangles

On découpe $[a; b]$ en $n$ intervalles de largeur $h = \frac{b - a}{n}$ et on additionne les aires des rectangles de hauteur $f (a + kh)$ . Quand $n$ augmente, la somme se rapproche de l'intégrale.

def rectangles(f, a, b, n):
    """Somme des aires de n rectangles de même largeur (méthode à gauche)."""
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + f(a + k * h)
    return h * s

def carre(x):
    return x ** 2

print(rectangles(carre, 0, 1, 10))     # environ 0.285
print(rectangles(carre, 0, 1, 1000))   # environ 0.3328 (valeur exacte : 1/3)

2. Intégrale et primitives

Théorème — Théorème fondamental

Si $f$ est continue et positive sur $[a; b]$ , la fonction

F_{a} : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t

est dérivable sur $[a; b]$ , et $F_{a}^{'} = f$ : c'est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .

Démonstration exigible — Démonstration dans le cas où f est positive et croissante

Soit $x \in [a; b [$ et $h > 0$ tel que $x + h \leq b$ . La différence $F_{a} (x + h) - F_{a} (x)$ est l'aire sous la courbe entre $x$ et $x + h$ .
Comme $f$ est croissante, sur $[x; x + h]$ on a $f (x) \leq f (t) \leq f (x + h)$ : cette aire est comprise entre celles de deux rectangles de largeur $h$ ,

h f (x) \leq F_{a} (x + h) - F_{a} (x) \leq h f (x + h)

En divisant par $h > 0$ : $f (x) \leq \frac{F _{a} ( x + h ) - F _{a} ( x )}{h} \leq f (x + h)$ .
Quand $h \to 0^{+}$ , $f (x + h) \to f (x)$ par continuité ; d'après le théorème des gendarmes, le taux d'accroissement tend vers $f (x)$ .
Pour $h < 0$ (avec $x + h \geq a$ ), on encadre de même l'aire entre $x + h$ et $x$ : $- h f (x + h) \leq F_{a} (x) - F_{a} (x + h) \leq - h f (x)$ . En divisant par $- h > 0$ : $f (x + h) \leq \frac{F _{a} ( x + h ) - F _{a} ( x )}{h} \leq f (x)$ , et on conclut de la même façon.
Donc $F_{a}$ est dérivable en $x$ et $F_{a}^{'} (x) = f (x)$ .

À connaître

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

où $F$ est n'importe quelle primitive de $f$ : la constante $C$ disparaît dans la différence.

Définition — Fonction continue de signe quelconque

Pour toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ , et $a$ , $b$ dans $I$ , on définit $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , où $F$ est une primitive de $f$ . Cela prolonge la définition par l'aire, et donne $\int_{a}^{a} f = 0$ et $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ .

Exemple — Trois calculs

$\int_{0}^{3} (\frac{x ^{2}}{4} + 1) d x = [\frac{x ^{3}}{12} + x]_{0}^{3} = \frac{27}{12} + 3 - 0 = 5, 25$ .
$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = [ln x]_{1}^{e} = ln e - ln 1 = 1$ .
$\int_{0}^{1} e^{2 x} d x = [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1} = \frac{e ^{2} - 1}{2} \approx 3, 19$ .

Piège fréquent

On écrit d'abord la primitive entre crochets, puis on calcule $F (b) - F (a)$ , dans cet ordre (borne du haut moins borne du bas). Et on n'oublie pas $F (a)$ même quand on croit qu'il vaut $0$ : $[e^{x}]_{0}^{1} = e - 1$ , pas $e$ .

3. Propriétés de l’intégrale

Propriété — Linéarité et relation de Chasles

Pour $f$ , $g$ continues sur $I$ , $a$ , $b$ , $c$ dans $I$ et $λ$ réel :

\int_{a}^{b} (f + λ g) (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + λ \int_{a}^{b} g (x) d x

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x (Chasles)

Propriété — Positivité et croissance (avec a ≤ b)

Si $f \geq 0$ sur $[a; b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0$ .
Si $f \leq g$ sur $[a; b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$ : on peut intégrer une inégalité.
Si $m \leq f \leq M$ sur $[a; b]$ , alors $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$ .

Si $f$ est négative, l'intégrale compte l'aire négativement. Ici $\int_{0}^{2 π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{2 π} = - 1 + 1 = 0$ : les deux arches se compensent, alors que l'aire totale colorée vaut $4$ u.a.

Propriété — Aire entre deux courbes

Si $f$ et $g$ sont continues et $g \leq f$ sur $[a; b]$ , l'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites $x = a$ , $x = b$ est

\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x (courbe du dessus moins courbe du dessous)

Sur $[0; 1]$ , $x^{2} \leq x$ : l'aire entre les courbes vaut $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{6}$ u.a.

Conseil bac

Pour une aire en cm², multiplie par l'aire d'une unité : si $1$ unité vaut $2$ cm sur chaque axe, $1$ u.a. $= 4$ cm². Et une aire est toujours positive : si tu trouves un nombre négatif, tu as inversé les courbes.

4. Valeur moyenne

Définition — Valeur moyenne d’une fonction

Soit $f$ continue sur $[a; b]$ avec $a < b$ . La valeur moyenne de $f$ sur $[a; b]$ est

μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

Graphiquement, c'est la hauteur du rectangle de base $[a; b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe (quand $f$ est positive).

Exemple — Concentration moyenne d’un médicament

La concentration d'un médicament est $C (t) = 12 e^{- 0, 3 t}$ (mg/L, $t$ en heures). Sa valeur moyenne sur les $5$ premières heures est

μ = \frac{1}{5} \int_{0}^{5} 12 e^{- 0, 3 t} d t = \frac{1}{5} [- 40 e^{- 0, 3 t}]_{0}^{5} = \frac{40 ( 1 - e ^{- 1, 5} )}{5} = 8 (1 - e^{- 1, 5}) \approx 6, 21 mg/L

Ce n'est pas la moyenne de $C (0) = 12$ et $C (5) \approx 2, 68$ , qui vaudrait $7, 34$ : la concentration ne décroît pas de façon affine.

Piège fréquent

Ne pas oublier le facteur $\frac{1}{b - a}$ : l'intégrale seule est une aire, pas une moyenne. Sur $[2; 6]$ , on divise par $4$ , pas par $6$ .

5. Intégration par parties

Théorème — Intégration par parties (IPP)

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ , avec $u^{'}$ et $v^{'}$ continues, alors pour tous $a$ , $b$ de $I$ :

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

Démonstration — Une démonstration en deux lignes

$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , donc $uv$ est une primitive de $u^{'} v + u v^{'}$ : $\int_{a}^{b} (u^{'} v + u v^{'}) = [uv]_{a}^{b}$ .
Par linéarité, $\int_{a}^{b} u v^{'} = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v$ .

Méthode — Choisir u et v’

Poser $u$ = le facteur qui se simplifie en le dérivant (un polynôme, ou $ln x$ ).
Poser $v^{'}$ = le facteur dont on connaît une primitive (souvent une exponentielle, un sinus, un cosinus).
Écrire clairement les quatre fonctions $u$ , $u^{'}$ , $v$ , $v^{'}$ , puis appliquer la formule.

Exemple — Calculer $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$

$u (x) = x$ , $u^{'} (x) = 1$ ; $v^{'} (x) = e^{x}$ , $v (x) = e^{x}$ .

\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - [e^{x}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1

Exemple — Calculer $\int_{1}^{e} ln x d x$

Astuce : $ln x = ln x \times 1$ . On pose $u (x) = ln x$ , $u^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ; $v^{'} (x) = 1$ , $v (x) = x$ .

\int_{1}^{e} ln x d x = [x ln x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \times x d x = (e - 0) - [x]_{1}^{e} = e - (e - 1) = 1

Piège fréquent

Si l'intégrale de droite est plus compliquée que celle de départ, tu as probablement inversé $u$ et $v^{'}$ . Avec $u = e^{x}$ et $v^{'} = x$ , on obtiendrait $\int \frac{x ^{2}}{2} e^{x}$ : pire !

L’essentiel à retenir

Pour $f$ continue positive, $\int_{a}^{b} f (x) d x$ est l'aire sous la courbe, en unités d'aire.
$x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ pour n'importe quelle primitive $F$ .
Linéarité, Chasles, positivité : si $f \leq g$ sur $[a; b]$ ( $a \leq b$ ), alors $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ .
Aire entre deux courbes : $\int_{a}^{b} (dessus - dessous)$ , toujours positive.
Valeur moyenne : $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
IPP : $\int_{a}^{b} u v^{'} = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v$ ; $u$ = ce qui se simplifie en dérivant.
Une fonction négative donne une intégrale négative : l'intégrale est une aire algébrique.

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