Probabilités

Épreuves indépendantes et loi binomiale

Schéma de Bernoulli, loi binomiale, espérance, variance et arbres

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Ce que tu dois savoir faire

Construire et exploiter un arbre pondéré, utiliser la formule des probabilités totales
Reconnaître une épreuve de Bernoulli et un schéma de Bernoulli
Justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale et donner ses paramètres
Calculer $P (X = k)$ , $P (X \leq k)$ , $P (X \geq k)$ à la main, à la calculatrice ou en Python
Calculer et interpréter l'espérance, la variance et l'écart-type d'une loi binomiale
Déterminer le plus petit $n$ tel que $P (X \geq 1) \geq 0, 99$ , ou un seuil $k$ tel que $P (X \leq k) \geq 0, 95$

1. Rappels : arbres et probabilités conditionnelles

Définition — Probabilité conditionnelle

Si $P (A) \neq = 0$ , la probabilité de $B$ sachant $A$ est

P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} donc P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)

Deux événements sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ , c'est-à-dire si $P_{A} (B) = P (B)$ .

Propriété — Règles des arbres pondérés

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ .
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
Formule des probabilités totales : si $A$ et $\overline{A}$ partagent l'univers,

P (B) = P (A \cap B) + P (\overline{A} \cap B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)

Un test de dépistage

Maladie de prévalence $2 %$ ; test de sensibilité $P_{M} (T) = 0, 95$ et de spécificité $P_{\overline{M}} (\overline{T}) = 0, 90$ .

Exemple — Un test positif signifie-t-il qu’on est malade ?

Probabilités totales : $P (T) = 0, 019 + 0, 098 = 0, 117$ .
Probabilité d'être malade quand le test est positif (valeur prédictive positive) :

P_{T} (M) = \frac{P ( M \cap T )}{P ( T )} = \frac{0 , 019}{0 , 117} \approx 0, 162

Seulement $16 %$ ! La maladie étant rare, la plupart des positifs sont de faux positifs. C'est pourquoi on confirme toujours un dépistage par un second examen.

Piège fréquent

Ne confonds pas $P_{M} (T)$ (probabilité d'un test positif chez un malade, ici $0, 95$ ) et $P_{T} (M)$ (probabilité d'être malade si le test est positif, ici $0, 16$ ). L'énoncé donne presque toujours la première, et demande la seconde.

2. Épreuves indépendantes et épreuve de Bernoulli

Définition — Succession d’épreuves indépendantes

Quand on répète des expériences dont les résultats n'influencent pas les suivants (lancers d'un dé, tirages avec remise…), la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chacun.
Exemple : on lance trois fois une pièce équilibrée ; $P (pile, pile, face) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ .

Définition — Épreuve et loi de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès ( $S$ ), de probabilité $p$ , et échec ( $E$ ), de probabilité $1 - p$ .
La variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ .

Loi de Bernoulli de paramètre p

$k$	$0$	$1$
$P (X = k)$	$1 - p$	$p$

Propriété — Espérance et variance

E (X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p V (X) = p (1 - p)

(car $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = p - p^{2}$ , puisque $X^{2} = X$ .)

Exemple — Exemples d’épreuves de Bernoulli

Lancer un dé et regarder si l'on obtient $6$ : $p = \frac{1}{6}$ .
Choisir une personne au hasard et regarder si elle est du groupe sanguin O négatif : $p \approx 0, 06$ .
Administrer un traitement et regarder si le patient guérit.

3. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Définition — Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de même probabilité de succès $p$ .
La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale $B (n, p)$ . Elle prend les valeurs $0, 1, \dots, n$ .

L’arbre d’un schéma de Bernoulli avec n = 3

Chaque chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{3 - k}$ . Il y a $(2 3) = 3$ chemins à $2$ succès : $P (X = 2) = 3 p^{2} (1 - p)$ .

Théorème — Loi binomiale

Si $X$ suit la loi $B (n, p)$ , alors pour tout entier $k$ de $0$ à $n$ :

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

où $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ (« $k$ parmi $n$ ») est le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves.

Démonstration exigible — D’où vient cette formule ?

L'événement ${X = k}$ est la réunion des issues (listes de $n$ résultats) comportant exactement $k$ succès et $n - k$ échecs.

Les épreuves étant indépendantes, chacune de ces listes a pour probabilité $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ (produit de $k$ facteurs $p$ et de $n - k$ facteurs $1 - p$ ).
Une telle liste est déterminée par le choix des $k$ rangs des succès parmi $n$ : il y en a $(k n)$ .

Ces issues étant incompatibles, on additionne : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .

Loi $B (10; 0, 3)$ : la valeur la plus probable est $3$ , qui est aussi l'espérance $n p$ . Par exemple $P (X = 2) = (2 10) \times 0, 3^{2} \times 0, 7^{8} \approx 0, 233$ .

Méthode — Justifier une loi binomiale (rédaction type)

« On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès « … » a pour probabilité $p$ . La variable $X$ compte le nombre de succès : $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \dots$ et $p = \dots$ . »
Si les tirages se font sans remise dans une grande population, l'énoncé dit qu'on les assimile à des tirages avec remise : recopie-le.

4. Espérance, variance, écart-type

À connaître

E (X) = n p V (X) = n p (1 - p) σ (X) = n p (1 - p)

Pour $X$ de loi $B (n, p)$ . La démonstration est faite dans le chapitre « Sommes de variables aléatoires ».

Exemple — Un traitement efficace à 80 %

On traite $20$ patients ; chacun guérit avec probabilité $0, 8$ , indépendamment des autres. Le nombre $X$ de guérisons suit $B (20; 0, 8)$ .
$E (X) = 20 \times 0, 8 = 16$ : en moyenne, sur un grand nombre de groupes de $20$ patients, $16$ guérissent.
$V (X) = 20 \times 0, 8 \times 0, 2 = 3, 2$ et $σ (X) = 3, 2 \approx 1, 79$ : le nombre de guérisons s'écarte typiquement de $16$ d'environ $2$ .

Loi $B (20; 0, 8)$ : les barres se concentrent autour de l'espérance $16$ (en pointillés).

Conseil bac

À la calculatrice : $P (X = k)$ se calcule avec binomFdp (TI) ou Binomiale PD (Casio), et $P (X \leq k)$ avec binomFRép ou Binomiale CD. Écris toujours sur ta copie la loi et les paramètres, puis le résultat : « $X \sim B (20; 0, 8)$ , à la calculatrice $P (X \leq 15) \approx 0, 370$ ».

Méthode — Les mêmes calculs en Python

from math import comb

def proba_binomiale(n, p, k):
    """P(X = k) pour X qui suit la loi B(n, p)."""
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def repartition(n, p, k):
    """P(X <= k) : on additionne les P(X = i) pour i de 0 à k."""
    s = 0
    for i in range(k + 1):
        s = s + proba_binomiale(n, p, i)
    return s

print(round(proba_binomiale(10, 0.3, 2), 4))   # 0.2335
print(round(repartition(10, 0.3, 3), 4))       # 0.6496

5. Calculs classiques au bac

Méthode — P(X ≥ k) et « au moins un »

$P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ : la calculatrice ne donne que des $P (X \leq \dots)$ .
$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (1 - p)^{n}$ : « au moins un succès » se calcule toujours par l'événement contraire.

Méthode — Le plus petit n tel que P(X ≥ 1) ≥ 0,99

$1 - (1 - p)^{n} \geq 0, 99 ⟺ (1 - p)^{n} \leq 0, 01 ⟺ n ln (1 - p) \leq ln 0, 01$ .
Comme $ln (1 - p) < 0$ , on change le sens en divisant : $n \geq \frac{ln 0 , 01}{ln ( 1 - p )}$ , puis on prend le premier entier.

Exemple — Combien de personnes interroger ?

Une allergie touche $5 %$ de la population. Combien de personnes faut-il examiner pour trouver au moins un allergique avec une probabilité d'au moins $0, 99$ ?
$n \geq \frac{ln 0 , 01}{ln 0 , 95} \approx 89, 8$ : il faut $90$ personnes.

Méthode — Un seuil : le plus petit k tel que P(X ≤ k) ≥ 0,95

On affiche à la calculatrice (ou en Python) les valeurs de $P (X \leq k)$ pour $k = 0, 1, 2 \dots$ et on repère la première qui dépasse $0, 95$ . On justifie avec deux valeurs encadrantes : « $P (X \leq 5) \approx 0, 92 < 0, 95$ et $P (X \leq 6) \approx 0, 97 \geq 0, 95$ , donc $k = 6$ ».

Piège fréquent

$P (X > 3) = 1 - P (X \leq 3)$ , mais $P (X \geq 3) = 1 - P (X \leq 2)$ . Le décalage d'une unité est l'erreur la plus fréquente : écris l'événement contraire en toutes lettres avant de calculer.

L’essentiel à retenir

Arbre : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins (probabilités totales).
$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ ; ne pas confondre $P_{M} (T)$ et $P_{T} (M)$ .
Épreuve de Bernoulli : deux issues ; la loi de Bernoulli a pour espérance $p$ et variance $p (1 - p)$ .
$n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes : le nombre de succès suit $B (n, p)$ .
$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
$E (X) = n p$ , $V (X) = n p (1 - p)$ , $σ (X) = n p (1 - p)$ .
« Au moins un » : $P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ .
$P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ : attention au décalage.

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