Analyse

Récurrence et limites de suites

Raisonnement par récurrence, limites, comparaison et suites monotones

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Ce que tu dois savoir faire

Rédiger un raisonnement par récurrence complet : initialisation, hérédité, conclusion
Déterminer la limite d'une suite avec les opérations, en levant une forme indéterminée
Utiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes
Connaître la limite de $q^{n}$ selon la valeur de $q$
Justifier la convergence d'une suite monotone et bornée, et écrire un algorithme de seuil

1. Le raisonnement par récurrence

Comment prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers, alors qu'on ne peut pas les tester un par un ? Pense à une rangée infinie de dominos : si le premier tombe, et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors tous tombent.

Théorème — Principe de récurrence

Soit $P (n)$ une propriété dépendant d'un entier naturel $n$ , et $n_{0}$ un entier. Si :

initialisation : $P (n_{0})$ est vraie ;
hérédité : pour tout entier $n \geq n_{0}$ , si $P (n)$ est vraie, alors $P (n + 1)$ est vraie ;

alors $P (n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$ .

Méthode — Rédiger une récurrence

Énoncer la propriété : « Pour tout $n \in N$ , on note $P (n)$ : … ».
Initialisation : vérifier $P (n_{0})$ par un calcul explicite.
Hérédité : « Soit $n \geq n_{0}$ fixé. On suppose $P (n)$ vraie (hypothèse de récurrence) et on montre $P (n + 1)$ . » Tu dois utiliser l'hypothèse dans le calcul.
Conclusion : « La propriété est initialisée et héréditaire, donc par récurrence elle est vraie pour tout $n \geq n_{0}$ . »

Démonstration exigible — Inégalité de Bernoulli : pour tout réel

a > 0

et tout

n \in N

(1 + a)^{n} \geq 1 + na

Soit $a > 0$ . Pour $n \in N$ , notons $P (n)$ : « $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ ».
Initialisation. $(1 + a)^{0} = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ : on a bien $1 \geq 1$ , donc $P (0)$ est vraie.
Hérédité. Soit $n \in N$ tel que $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ . Comme $1 + a > 0$ , on peut multiplier les deux membres par $1 + a$ sans changer le sens :

(1 + a)^{n + 1} \geq (1 + na) (1 + a) = 1 + a + na + n a^{2} = 1 + (n + 1) a + n a^{2}

Or $n a^{2} \geq 0$ , donc $(1 + a)^{n + 1} \geq 1 + (n + 1) a$ : $P (n + 1)$ est vraie.
Conclusion. Par récurrence, $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ pour tout $n \in N$ .

Exemple — Encadrer une suite récurrente

Soit $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2$ . Montrons que $u_{n} \leq 4$ pour tout $n$ .
Initialisation : $u_{0} = 0 \leq 4$ . Hérédité : si $u_{n} \leq 4$ , alors $0, 5 u_{n} \leq 2$ , donc $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2 \leq 4$ . Conclusion : $u_{n} \leq 4$ pour tout $n \in N$ .

Piège fréquent

L'initialisation n'est pas une formalité. La propriété « $2^{n} > n^{2}$ » est héréditaire à partir de $n = 3$ , mais fausse pour $n = 2, 3, 4$ ( $4 = 4$ , $8 < 9$ , $16 = 16$ ) : elle n'est vraie qu'à partir de $n_{0} = 5$ .

2. Limite d’une suite

Définition — Limite finie : convergence

La suite $(u_{n})$ converge vers le réel $ℓ$ si tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient tous les termes $u_{n}$ à partir d'un certain rang. On note $n \to + \infty lim u_{n} = ℓ$ . Cette limite, si elle existe, est unique.

Définition — Limite infinie

$(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si, pour tout réel $A$ , l'intervalle $] A; + \infty [$ contient tous les termes $u_{n}$ à partir d'un certain rang. (Définition analogue pour $- \infty$ avec $] - \infty; A [$ .)
Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers $\pm \infty$ , soit elle n'a pas de limite, comme $(- 1)^{n}$ .

$u_{n} = 1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ converge vers $1$ en oscillant. Dans la bande $] 0, 8; 1, 2 [$ , on trouve tous les termes à partir du rang $n = 6$ : quelle que soit la largeur de la bande, un tel rang existe.

Suites de référence

Suite	Limite en $+ \infty$
$n$ , $n^{2}$ , $n^{k}$ ( $k \geq 1$ ), $n$	$+ \infty$
$\frac{1}{n}$ , $\frac{1}{n ^{2}}$ , $\frac{1}{n ^{k}}$ , $\frac{1}{n}$	$0$

Opérations : les formes indéterminées (FI)

Si $u_{n} \to$	$v_{n} \to$	$u_{n} + v_{n} \to$	$u_{n} \times v_{n} \to$	$\frac{u _{n}}{v _{n}} \to$
$ℓ$	$ℓ^{'} \neq = 0$	$ℓ + ℓ^{'}$	$ℓ ℓ^{'}$	$\frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$
$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$	$\pm \infty$ si $ℓ \neq = 0$ ; FI si $ℓ = 0$	$0$
$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	FI
$+ \infty$	$- \infty$	FI	$- \infty$	FI
$ℓ \neq = 0$	$0$	$ℓ$	$0$	$\pm \infty$ (selon le signe)

Méthode — Lever une forme indéterminée

Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en $n$ , factorise par le terme de plus haut degré.

\frac{2 n ^{2} - 3 n + 1}{n ^{2} + 5} = \frac{n ^{2} ( 2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n ^{2}} )}{n ^{2} ( 1 + \frac{5}{n ^{2}} )} = \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}{1 + \frac{5}{n ^{2}}} n \to + \infty 2

Avec des racines carrées (forme « $\infty - \infty$ »), multiplie par l'expression conjuguée : $n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n} \to 0$ .

3. Théorèmes de comparaison

Théorème — Comparaison

Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ telles que $u_{n} \geq v_{n}$ à partir d'un certain rang.

Si $lim v_{n} = + \infty$ , alors $lim u_{n} = + \infty$ .
Si $lim u_{n} = - \infty$ , alors $lim v_{n} = - \infty$ .

Démonstration exigible — Démonstration : une suite minorée par une suite qui tend vers

+ \infty

tend vers

+ \infty

Supposons $u_{n} \geq v_{n}$ pour tout $n \geq N_{1}$ , et $lim v_{n} = + \infty$ . Soit $A$ un réel quelconque.
Puisque $v_{n} \to + \infty$ , il existe un rang $N_{2}$ tel que pour tout $n \geq N_{2}$ , $v_{n} > A$ .
Notons $N = max (N_{1}, N_{2})$ . Pour tout $n \geq N$ , on a à la fois $u_{n} \geq v_{n}$ et $v_{n} > A$ , donc $u_{n} > A$ .
Ainsi l'intervalle $] A; + \infty [$ contient tous les $u_{n}$ à partir du rang $N$ : c'est la définition de $lim u_{n} = + \infty$ .

Théorème — Théorème des gendarmes (admis)

Si $v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n}$ à partir d'un certain rang, et si $(v_{n})$ et $(w_{n})$ convergent vers la même limite $ℓ$ , alors $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ .

Exemple — Limite de $\frac{c o s n}{n}$

Pour tout $n \geq 1$ , $- 1 \leq cos n \leq 1$ , donc $- \frac{1}{n} \leq \frac{c o s n}{n} \leq \frac{1}{n}$ . Les deux suites qui encadrent tendent vers $0$ : par le théorème des gendarmes, $n \to + \infty lim \frac{c o s n}{n} = 0$ .

Propriété — Passage à la limite dans une inégalité

Si $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent et si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang, alors $lim u_{n} \leq lim v_{n}$ .

Piège fréquent

Les inégalités strictes ne passent pas à la limite : $\frac{1}{n} > 0$ pour tout $n \geq 1$ , et pourtant $lim \frac{1}{n} = 0$ , qui n'est pas strictement positif. On écrit toujours $ℓ \geq 0$ , jamais $ℓ > 0$ .

4. Suites géométriques et suites monotones

Limite de $q^{n}$

$q$	$q \leq - 1$	$- 1 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$
$lim q^{n}$	pas de limite	$0$	$1$	$+ \infty$

Démonstration exigible — Démonstration : si

q > 1

, alors

lim q^{n} = + \infty

Écrivons $q = 1 + a$ avec $a = q - 1 > 0$ . D'après l'inégalité de Bernoulli, pour tout $n \in N$ :

q^{n} = (1 + a)^{n} \geq 1 + na

Comme $a > 0$ , $n \to + \infty lim (1 + na) = + \infty$ . Par comparaison, $n \to + \infty lim q^{n} = + \infty$ .
Prolongement : si $0 < q < 1$ , alors $\frac{1}{q} > 1$ , donc $(\frac{1}{q})^{n} \to + \infty$ , et $q^{n} = \frac{1}{( 1/ q ) ^{n}} \to 0$ .

Définition — Suite majorée, minorée, bornée

$(u_{n})$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ ; minorée s'il existe $m$ tel que $u_{n} \geq m$ pour tout $n$ ; bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème — Convergence monotone (admis)

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

Si $(u_{n})$ est croissante et converge vers $ℓ$ , alors $u_{n} \leq ℓ$ pour tout $n$ .

Propriété — Croissante non majorée

Toute suite croissante et non majorée tend vers $+ \infty$ .

Démonstration exigible — Démonstration

Soit $(u_{n})$ croissante et non majorée, et soit $A$ un réel. Comme $(u_{n})$ n'est pas majorée, $A$ n'est pas un majorant : il existe un rang $N$ tel que $u_{N} > A$ .
Comme $(u_{n})$ est croissante, pour tout $n \geq N$ , $u_{n} \geq u_{N} > A$ .
Tous les termes à partir du rang $N$ sont donc dans $] A; + \infty [$ : $lim u_{n} = + \infty$ .

La suite $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2$ , $u_{0} = 0$ , est croissante et majorée par $4$ : elle converge. Sa limite vaut exactement $4$ , car $u_{n} = 4 - 4 \times 0, 5^{n}$ .

Piège fréquent

« Croissante et majorée par $4$ » prouve que la suite converge, pas que sa limite vaut $4$ : on sait seulement que $ℓ \leq 4$ . La suite $2 - \frac{1}{n + 1}$ est croissante, majorée par $4$ , et converge vers $2$ .

5. Algorithme de seuil

Quand une suite tend vers $+ \infty$ (ou converge en croissant), on cherche souvent le premier rang à partir duquel elle dépasse un seuil. On calcule les termes un par un tant que le seuil n'est pas atteint.

def seuil(s):
    n, u = 0, 0              # rang et terme initiaux
    while u <= s:            # tant que le seuil n'est pas dépassé
        u = 0.5 * u + 2      # terme suivant
        n = n + 1
    return n

print(seuil(3.99))           # affiche 9

Exemple — Vérifier le résultat par le calcul

$u_{n} > 3, 99 ⟺ 4 - 4 \times 0, 5^{n} > 3, 99 ⟺ 0, 5^{n} < 0, 0025 ⟺ n > \frac{ln 0 , 0025}{ln 0 , 5} \approx 8, 64$ (le sens change car $ln 0, 5 < 0$ ). Le premier rang est bien $n = 9$ .

Conseil bac

Au bac, l'algorithme est souvent donné à trous : identifie la condition de la boucle (c'est le contraire de ce qu'on cherche : « tant que $u \leq s$ » pour « jusqu'à $u > s$ ») et l'ordre des deux mises à jour. Si on incrémente $n$ avant de calculer $u$ , le résultat est le même ici, mais pas toujours.

L’essentiel à retenir

Récurrence : initialisation, hérédité (en utilisant l'hypothèse), conclusion.
Bernoulli : $(1 + a)^{n} \geq 1 + na$ pour $a > 0$ — elle sert à prouver $q^{n} \to + \infty$ si $q > 1$ .
$q^{n} \to 0$ si $- 1 < q < 1$ , $\to + \infty$ si $q > 1$ , pas de limite si $q \leq - 1$ .
Quatre FI : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ . On factorise par le terme dominant.
Comparaison : $u_{n} \geq v_{n}$ et $v_{n} \to + \infty$ $\Rightarrow$ $u_{n} \to + \infty$ .
Gendarmes : encadrement par deux suites de même limite.
Croissante et majorée $\Rightarrow$ convergente ; croissante non majorée $\Rightarrow$ $+ \infty$ .
Les inégalités passent à la limite en devenant larges.

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