Algèbre et géométrie

Représentations paramétriques et équations de plans

Droites et plans par équations, intersections dans l'espace

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Ce que tu dois savoir faire

Écrire une représentation paramétrique d'une droite et savoir si un point lui appartient
Déterminer une équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal
Lire un vecteur normal sur une équation cartésienne
Étudier l'intersection d'une droite et d'un plan, de deux plans, de deux droites
Calculer le projeté orthogonal d'un point sur un plan et la distance du point au plan

1. Représentation paramétrique d’une droite

Une droite de l'espace ne peut pas être décrite par une équation : il en faudrait deux. On préfère la décrire comme la trajectoire d'un point mobile : on part de $A$ et on avance de $t$ fois le vecteur $u$ .

Propriété — Représentation paramétrique

Dans un repère de l'espace, la droite $d$ passant par $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et dirigée par $u (a; b; c)$ (non nul) est l'ensemble des points $M (x; y; z)$ tels que

⎩ ⎨ ⎧ x = x_{A} + a t y = y_{A} + b t z = z_{A} + c t t \in R

C'est la traduction en coordonnées de $A M = t u$ . Le réel $t$ est le paramètre.

Le paramètre t repère la position du point sur la droite

Pour $t = 0$ on est en $A$ , pour $t = 1$ au point $A + u$ , pour $t < 0$ de l'autre côté de $A$ . Chaque réel $t$ donne un point de $d$ , et chaque point de $d$ correspond à un unique $t$ .

Exemple — La droite (AB)

Avec $A (2; - 1; 0)$ et $B (4; 0; 3)$ : $A B (2; 1; 3)$ dirige $(A B)$ , donc

(A B) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + 2 t y = - 1 + t z = 3 t t \in R

Le point $C (0; - 2; - 3)$ est-il sur $(A B)$ ? La 1ʳᵉ ligne donne $t = - 1$ ; alors $y = - 2$ et $z = - 3$ : oui, $C \in (A B)$ (paramètre $t = - 1$ ).

Piège fréquent

Une droite a une infinité de représentations paramétriques (on peut changer de point de départ et de vecteur directeur). Deux représentations d'allure différente peuvent décrire la même droite : pour le vérifier, compare les vecteurs directeurs (colinéaires ?) puis teste un point de l'une dans l'autre.

2. Équation cartésienne d’un plan

Théorème — Équation cartésienne

On se place dans un repère orthonormé.

Un plan de vecteur normal $n (a; b; c)$ admet une équation de la forme $a x + b y + cz + d = 0$ .
Réciproquement, si $(a; b; c) \neq = (0; 0; 0)$ , l'ensemble des points $M (x; y; z)$ tels que $a x + b y + cz + d = 0$ est un plan de vecteur normal $n (a; b; c)$ .

Démonstration — Démonstration

Sens direct. Soit $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ un point du plan. $M$ est dans le plan $⟺ A M \cdot n = 0 ⟺ a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) + c (z - z_{A}) = 0$ , ce qui s'écrit $a x + b y + cz + d = 0$ avec $d = - (a x_{A} + b y_{A} + c z_{A})$ .

Réciproque. Supposons par exemple $a \neq = 0$ . Le point $A (- \frac{d}{a}; 0; 0)$ vérifie l'équation. Pour tout $M (x; y; z)$ : $A M \cdot n = a (x + \frac{d}{a}) + b y + cz = a x + b y + cz + d$ . Donc l'équation équivaut à $A M \cdot n = 0$ : c'est le plan passant par $A$ de vecteur normal $n$ .

Le plan 6x + 3y + 2z − 6 = 0 et ses traces sur les axes

Pour trouver où le plan coupe l'axe des abscisses, on pose $y = z = 0$ : $6 x = 6$ , donc $x = 1$ . De même il coupe l'axe des ordonnées en $(0; 2; 0)$ et l'axe des cotes en $(0; 0; 3)$ . Les portions d'axes cachées par le plan sont en pointillés.

Méthode — Équation du plan passant par A, de vecteur normal n

Écrire $a x + b y + cz + d = 0$ avec $(a; b; c)$ les coordonnées de $n$ .
Remplacer $(x; y; z)$ par les coordonnées de $A$ pour trouver $d$ .

Exemple : $A (1; 0; 2)$ et $n (1; - 1; 2)$ . Le plan a une équation $x - y + 2 z + d = 0$ ; $A$ y est : $1 - 0 + 4 + d = 0$ , donc $d = - 5$ . Équation : $x - y + 2 z - 5 = 0$ .

Méthode — Équation du plan (ABC)

Vérifier que $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires.
Trouver un vecteur normal $n$ : $n \cdot A B = 0$ et $n \cdot A C = 0$ (on fixe une coordonnée).
Conclure comme ci-dessus avec le point $A$ — puis vérifier que $B$ et $C$ satisfont l'équation.

Plans particuliers

Plan	Équation	Vecteur normal
$(x O y)$	$z = 0$	$k (0; 0; 1)$
$(x O z)$	$y = 0$	$ (0; 1; 0)$
$(y O z)$	$x = 0$	$ (1; 0; 0)$
Parallèle à $(x O y)$ passant par $(0; 0; 5)$	$z = 5$	$k (0; 0; 1)$

3. Intersection d’une droite et d’un plan

Méthode — Substituer la représentation dans l’équation

On remplace $x$ , $y$ , $z$ de la représentation paramétrique de $d$ dans l'équation du plan $P$ . On obtient une équation du premier degré en $t$ :

une solution unique $t_{0}$ : $d$ et $P$ sont sécants, le point d'intersection s'obtient avec $t = t_{0}$ ;
aucune solution (du type $0 = 5$ ) : $d$ est strictement parallèle à $P$ ;
tout $t$ convient (du type $0 = 0$ ) : $d$ est incluse dans $P$ .

Exemple — Un point d’intersection

$P : x + 2 y - z - 3 = 0$ et $d : x = 1 + t$ , $y = - 1 + 2 t$ , $z = 2 - t$ .
$(1 + t) + 2 (- 1 + 2 t) - (2 - t) - 3 = 0 ⟺ 6 t - 6 = 0 ⟺ t = 1$ .
Le point d'intersection est $I (2; 1; 1)$ . Contrôle : $2 + 2 - 1 - 3 = 0$ . ✓

Conseil bac

Avant tout calcul, $u \cdot n$ te dit ce qui t'attend : s'il est non nul, la droite coupe le plan en un point ; s'il est nul, elle lui est parallèle (et il reste à tester un point pour savoir si elle est incluse).

4. Intersection de deux plans, de deux droites

Propriété — Deux plans

Soit $P$ et $P^{'}$ de vecteurs normaux $n$ et $n^{'}$ .

Si $n$ et $n^{'}$ sont colinéaires, les plans sont parallèles (confondus si un point de l'un est dans l'autre, strictement parallèles sinon).
Sinon, les plans sont sécants selon une droite $Δ$ , dont un vecteur directeur est orthogonal à la fois à $n$ et à $n^{'}$ .

Méthode — Représentation de la droite d’intersection

On résout le système des deux équations en prenant une des inconnues comme paramètre (souvent $x = t$ , ou $z = t$ ), puis on exprime les deux autres en fonction de $t$ .
Exemple : ${x + 2 y - z = 3 2 x - y + z = 1$ . En additionnant : $3 x + y = 4$ . Avec $x = t$ : $y = 4 - 3 t$ , puis $z = x + 2 y - 3 = 5 - 5 t$ .

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 4 - 3 t z = 5 - 5 t t \in R

Méthode — Position relative de deux droites

Soit $d$ (paramètre $t$ ) et $d^{'}$ (paramètre $s$ — deux lettres différentes !).

Si les vecteurs directeurs sont colinéaires : les droites sont parallèles (on teste un point pour savoir si elles sont confondues).
Sinon, on résout le système de trois équations à deux inconnues $t$ et $s$ : on trouve $t$ et $s$ avec deux équations, puis on teste la troisième.

Elle est vérifiée : les droites sont sécantes, on obtient le point commun.
Elle ne l'est pas : les droites sont non coplanaires.

Piège fréquent

Utiliser la même lettre $t$ pour les deux droites, c'est supposer que les deux points mobiles passent au même instant au même endroit : on rate presque toujours l'intersection. Renomme le paramètre de la seconde droite.

5. Projeté orthogonal sur un plan et distance

Méthode — Projeté de M sur le plan P

Écrire une représentation paramétrique de la droite $Δ$ passant par $M$ et dirigée par le vecteur normal $n$ du plan : elle est orthogonale à $P$ .
Calculer l'intersection de $Δ$ et $P$ (substitution) : c'est le projeté orthogonal $H$ .
La distance de $M$ au plan est $M H$ (le point de $P$ le plus proche de $M$ ).

Exemple — Distance d’un point à un plan

$P : 2 x - y + 2 z + 3 = 0$ , de vecteur normal $n (2; - 1; 2)$ , et $M (3; 1; 2)$ .
$Δ : x = 3 + 2 t$ , $y = 1 - t$ , $z = 2 + 2 t$ .
$2 (3 + 2 t) - (1 - t) + 2 (2 + 2 t) + 3 = 0 ⟺ 9 t + 12 = 0 ⟺ t = - \frac{4}{3}$ .
Donc $H (\frac{1}{3}; \frac{7}{3}; - \frac{2}{3})$ , et $M H = ∣ t ∣ \times ∥ n ∥ = \frac{4}{3} \times 3 = 4$ .

Conseil bac

$M H = t n$ , donc $M H = ∣ t ∣ \times ∥ n ∥$ : inutile de recalculer les coordonnées de $M H$ pour obtenir la distance. N'oublie pas la valeur absolue si $t$ est négatif.

L’essentiel à retenir

Droite par $A$ dirigée par $u (a; b; c)$ : $x = x_{A} + a t$ , $y = y_{A} + b t$ , $z = z_{A} + c t$ , $t \in R$ .
Pour tester si un point est sur une droite : trouver $t$ avec une ligne, vérifier les deux autres.
En repère orthonormé, un plan de vecteur normal $n (a; b; c)$ a une équation $a x + b y + cz + d = 0$ : on lit $n$ sur les coefficients.
On trouve $d$ en écrivant qu'un point connu du plan vérifie l'équation.
Droite ∩ plan : on substitue la représentation paramétrique dans l'équation, puis on résout en $t$ .
Deux plans à vecteurs normaux non colinéaires se coupent selon une droite : on prend une inconnue comme paramètre.
Deux droites : paramètres différents, trois équations à deux inconnues, la troisième sert de test.
Projeté sur un plan : droite passant par $M$ dirigée par $n$ , intersectée avec le plan ; distance $M H = ∣ t ∣ ∥ n ∥$ .

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