Algèbre et géométrie

Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Produit scalaire, vecteur normal, projeté orthogonal et distances

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Ce que tu dois savoir faire

Calculer un produit scalaire dans l'espace : par les normes et l'angle, par une projection, en coordonnées
Calculer une norme, une distance, un angle géométrique à partir des coordonnées
Démontrer que deux vecteurs ou deux droites sont orthogonaux, qu'une droite est orthogonale à un plan
Utiliser un vecteur normal à un plan
Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite ou sur un plan, et en déduire une distance

1. Le produit scalaire dans l’espace

Deux vecteurs $u = A B$ et $v = A C$ ayant la même origine sont toujours dans un même plan (le plan $(A BC)$ , ou une infinité de plans si $A$ , $B$ , $C$ sont alignés). On définit donc leur produit scalaire comme en Première, dans ce plan.

Définition — Produit scalaire

Si $u$ et $v$ sont non nuls, d'angle géométrique $θ$ :

u \cdot v = ∥ u ∥ \times ∥ v ∥ \times cos θ

Si l'un des deux vecteurs est nul, $u \cdot v = 0$ . En particulier, $u \cdot u = ∥ u ∥^{2}$ .

Propriété — Formules de polarisation

u \cdot v = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})

autrement dit $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 u \cdot v + ∥ v ∥^{2}$ : c'est l'identité remarquable des vecteurs.

Propriété — Règles de calcul

Pour tous vecteurs $u$ , $v$ , $w$ et tout réel $k$ :

symétrie : $u \cdot v = v \cdot u$ ;
bilinéarité : $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ et $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ .

Propriété — Avec un projeté

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ , alors $A B \cdot A C = A B \cdot A H$ . Ce produit vaut $A B \times A H$ si $A B$ et $A H$ sont de même sens, et $- A B \times A H$ sinon.

2. En repère orthonormé

Définition — Repère orthonormé

Le repère $(O; , , k)$ est orthonormé si $$ , $$ , $k$ sont de norme $1$ et deux à deux orthogonaux. Exemple : $(A; A B, A D, A E)$ dans un cube d'arête $1$ .

À connaître

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} ∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

Pour $u (x; y; z)$ et $v (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ , uniquement en repère orthonormé.

Propriété — Distance entre deux points

A B = ∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}

Exemple — Un angle dans le cube

Dans le cube d'arête $1$ , calculons l'angle $G A C$ . On a $A C (1; 1; 0)$ et $A G (1; 1; 1)$ .
$A C \cdot A G = 1 + 1 + 0 = 2$ , $A C = 2$ et $A G = 3$ .
Donc $cos G A C = \frac{2}{2 3} = \frac{6}{3} \approx 0, 816$ , soit $G A C \approx 35, 3^{\circ}$ .

Piège fréquent

La formule $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ est fausse dans un repère qui n'est pas orthonormé. Avant de l'utiliser, vérifie (et écris sur ta copie) que le repère est orthonormé.

3. Orthogonalité

Définition — Vecteurs et droites orthogonaux

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : $u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ .
Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Elles ne sont pas forcément sécantes ; si elles le sont, on dit qu'elles sont perpendiculaires.

Exemple — Dans le cube

Les droites $(A B)$ et $(CG)$ sont orthogonales ( $A B (1; 0; 0) \cdot CG (0; 0; 1) = 0$ ), alors qu'elles n'ont aucun point commun.

Définition — Droite orthogonale à un plan

Une droite $d$ est orthogonale à un plan $P$ si elle est orthogonale à toutes les droites de $P$ .

Théorème — Critère pratique

Une droite est orthogonale à toutes les droites d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Démonstration exigible — Démonstration du critère

Soit $w$ un vecteur directeur de $d$ , et $d_{1}$ , $d_{2}$ deux droites sécantes de $P$ , dirigées par $u$ et $v$ . Comme $d_{1}$ et $d_{2}$ sont sécantes, $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires : ils dirigent le plan $P$ .

Sens direct : si $d$ est orthogonale à toutes les droites de $P$ , elle l'est en particulier à $d_{1}$ et $d_{2}$ .
Réciproque : supposons $w \cdot u = 0$ et $w \cdot v = 0$ . Toute droite $δ$ de $P$ a un vecteur directeur de la forme $a u + b v$ . Par bilinéarité :

w \cdot (a u + b v) = a (w \cdot u) + b (w \cdot v) = 0

donc $d$ est orthogonale à $δ$ , et ce pour toute droite $δ$ de $P$ .

Méthode — Montrer qu’une droite est orthogonale à un plan

Choisir deux vecteurs non colinéaires du plan (par exemple $A B$ et $A C$ si $A$ , $B$ , $C$ sont trois points non alignés du plan).
Montrer que le vecteur directeur de la droite a un produit scalaire nul avec chacun d'eux.
Conclure avec le critère : la droite est orthogonale au plan, donc à toute droite du plan.

4. Vecteur normal à un plan

Définition — Vecteur normal

Un vecteur non nul $n$ est normal au plan $P$ s'il dirige une droite orthogonale à $P$ . Il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $P$ .

Propriété — Caractérisation d’un plan

Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $n$ est l'ensemble des points $M$ tels que

A M \cdot n = 0

Vecteur normal et projeté orthogonal sur un plan

$n$ est normal au plan $P$ . $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ : $(M H)$ est dirigée par $n$ . Pour tout autre point $N$ du plan, $MN > M H$ .

Propriété — Positions relatives par les vecteurs normaux

Soit $P$ et $P^{'}$ de vecteurs normaux $n$ et $n^{'}$ , et $d$ une droite de vecteur directeur $u$ .

$d ⊥ P ⟺ u$ et $n$ sont colinéaires.
$d$ est parallèle à $P$ $⟺ u \cdot n = 0$ .
$P ∥ P^{'} ⟺ n$ et $n^{'}$ sont colinéaires.
$P$ et $P^{'}$ sont perpendiculaires $⟺ n \cdot n^{'} = 0$ .

Méthode — Trouver un vecteur normal au plan (ABC)

On cherche $n (a; b; c)$ tel que $n \cdot A B = 0$ et $n \cdot A C = 0$ . On obtient deux équations à trois inconnues : il y a une infinité de solutions (tous les vecteurs colinéaires à l'un d'eux). On fixe une inconnue (par exemple $c = 1$ , ou une valeur qui évite les fractions) et on calcule les deux autres.

Conseil bac

Quand l'énoncé propose un vecteur normal, ne le recalcule pas : vérifie simplement que ses produits scalaires avec $A B$ et $A C$ sont nuls, et rappelle que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.

5. Projeté orthogonal et distances

Définition — Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(M H) ⊥ d$ (ou $H = M$ si $M \in d$ ).
Le projeté orthogonal de $M$ sur un plan $P$ est le point $H$ de $P$ tel que $(M H) ⊥ P$ , c'est-à-dire que $M H$ est colinéaire à un vecteur normal $n$ .

Théorème — Le point le plus proche

Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur un plan $P$ est le point de $P$ le plus proche de $M$ . La distance $M H$ est appelée distance du point $M$ au plan $P$ . Il en va de même pour une droite.

Démonstration exigible — Démonstration : le projeté est le point le plus proche

Soit $N$ un point quelconque de $P$ . Comme $H$ et $N$ sont dans $P$ , le vecteur $H N$ est dans la direction du plan, donc orthogonal à $M H$ : $M H \cdot H N = 0$ .
Alors, avec Chasles et la formule de polarisation :

M N^{2} = ∥ M H + H N ∥^{2} = M H^{2} + 2 M H \cdot H N + H N^{2} = M H^{2} + H N^{2}

(c'est le théorème de Pythagore dans le triangle $M H N$ , rectangle en $H$ ). Donc $M N^{2} \geq M H^{2}$ , soit $MN \geq M H$ , avec égalité si et seulement si $H N = 0$ , c'est-à-dire $N = H$ .

Projeté orthogonal sur une droite

$H$ est l'unique point de $d$ tel que $M H \cdot u = 0$ . Tout autre point $N$ de $d$ est plus loin de $M$ .

Méthode — Calculer le projeté de M sur la droite passant par A dirigée par u

$H$ est sur $d$ : on écrit $A H = t u$ , donc les coordonnées de $H$ en fonction de $t$ .
$(M H) ⊥ d$ : on écrit $M H \cdot u = 0$ , ce qui donne une équation du premier degré en $t$ .
On remplace $t$ pour obtenir $H$ , puis la distance $M H$ .

Le calcul donne toujours $t = \frac{A M \cdot u}{∥ u ∥ ^{2}}$ .

Exemple — Distance d’un point à une droite

$d$ passe par $A (0; 0; 0)$ et est dirigée par $u (1; 1; 0)$ ; $M (2; 0; 1)$ .
$H (t; t; 0)$ et $M H (t - 2; t; - 1)$ . $M H \cdot u = (t - 2) + t = 2 t - 2 = 0 ⟺ t = 1$ .
Donc $H (1; 1; 0)$ , $M H (- 1; 1; - 1)$ et la distance de $M$ à $d$ vaut $M H = 3$ .

L’essentiel à retenir

$u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ = \frac{1}{2} (∥ u + v ∥^{2} - ∥ u ∥^{2} - ∥ v ∥^{2})$ .
En repère orthonormé : $u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$ et $∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
$u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0$ ; deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes.
Une droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan est orthogonale au plan, donc à toutes ses droites.
$n$ est normal à $(A BC)$ $⟺$ $n \cdot A B = 0$ et $n \cdot A C = 0$ (avec $A$ , $B$ , $C$ non alignés).
$M \in P ⟺ A M \cdot n = 0$ ( $A$ point du plan, $n$ normal).
Le projeté orthogonal $H$ de $M$ est le point le plus proche de $M$ : la distance au plan (ou à la droite) est $M H$ .
Projeté sur une droite : $A H = t u$ et $M H \cdot u = 0$ .

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