Algèbre et géométrie

Vecteurs, droites et plans de l'espace

Colinéarité, coplanarité, bases et positions relatives

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Ce que tu dois savoir faire

Combiner des vecteurs de l'espace avec la relation de Chasles
Caractériser une droite par un point et un vecteur directeur, un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires
Démontrer l'alignement de trois points ou la coplanarité de quatre points
Décomposer un vecteur dans une base et calculer avec des coordonnées
Déterminer la position relative de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans

1. Les vecteurs de l’espace

Tout ce que tu sais des vecteurs du plan reste vrai dans l'espace : un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme, et il code une translation. La seule nouveauté est qu'il faut trois directions indépendantes pour tout décrire, au lieu de deux.

Propriété — Règles de calcul

Pour tous points $A$ , $B$ , $C$ de l'espace :

relation de Chasles : $A B + BC = A C$ ;
$A B = 0 ⟺ A = B$ , et $B A = - A B$ ;
$A B = C D ⟺ A B D C$ est un parallélogramme (attention à l'ordre des lettres : $A B D C$ , et non $A BC D$ ).

Définition — Combinaison linéaire

Un vecteur $w$ est une combinaison linéaire des vecteurs $u$ et $v$ s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $w = a u + b v$ . (Même définition avec trois vecteurs ou plus.)

Dans le cube ABCDEFGH

$A G = A B + BC + CG = A B + A D + A E$ : la grande diagonale est la somme des trois arêtes issues de $A$ . Les arêtes cachées sont en pointillés.

Exemple — Décomposer avec Chasles

Dans le cube, soit $I$ le milieu de $[FG]$ . Alors $A I = A B + BF + F I = A B + A E + \frac{1}{2} A D$ , car $BF = A E$ et $FG = A D$ .

2. Droites et plans de l’espace

Définition — Droite

Soit $A$ un point et $u$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $u$ est l'ensemble des points $M$ tels que

A M = t u pour un r \overset{e}{ˊ} el t

Tout vecteur non nul colinéaire à $u$ dirige aussi $d$ .

Propriété — Colinéarité, alignement, parallélisme

$u$ et $v$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $v = k u$ (ou $u = 0$ ).
$A$ , $B$ , $C$ sont alignés $⟺$ $A B$ et $A C$ sont colinéaires.
Deux droites sont parallèles $⟺$ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Définition — Plan

Soit $A$ un point et $u$ , $v$ deux vecteurs non colinéaires. Le plan $P$ passant par $A$ et dirigé par $u$ et $v$ est l'ensemble des points $M$ tels que

A M = a u + b v pour deux r \overset{e}{ˊ} els a, b

Le couple $(u, v)$ s'appelle une base de la direction du plan. Trois points non alignés $A$ , $B$ , $C$ définissent un plan unique, dirigé par $A B$ et $A C$ .

Piège fréquent

Une droite a une direction, un plan en a deux. Un seul vecteur ne suffit jamais à définir un plan : dans l'espace, une infinité de plans contiennent une même droite.

3. Vecteurs coplanaires

Définition — Coplanarité

Trois vecteurs $u$ , $v$ , $w$ sont coplanaires si, en les représentant à partir d'un même point $O$ , les quatre points obtenus sont dans un même plan.

Propriété — Caractérisation

Si $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires, alors

u, v, w coplanaires ⟺ il existe deux r \overset{e}{ˊ} els a, b tels que w = a u + b v

Quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires $⟺$ $A B$ , $A C$ , $A D$ sont coplanaires.

Méthode — Démontrer que quatre points sont coplanaires (ou pas)

Calculer $A B$ , $A C$ , $A D$ et vérifier que $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires.
Chercher $a$ et $b$ tels que $A D = a A B + b A C$ : on obtient un système de trois équations à deux inconnues.
Résoudre avec deux des équations, puis tester la troisième : si elle est vérifiée, les points sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Exemple — Dans le cube

$A B$ , $A D$ et $A C$ sont coplanaires, puisque $A C = A B + A D$ : les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont dans la face du bas.
En revanche $A B$ , $A D$ et $A E$ ne sont pas coplanaires : $E$ n'est pas dans le plan $(A B D)$ .

4. Bases, repères et coordonnées

Théorème — Décomposition dans une base

Si $$ , $$ , $k$ sont trois vecteurs non coplanaires, ils forment une base de l'espace : pour tout vecteur $u$ , il existe un unique triplet de réels $(x; y; z)$ tel que

u = x  + y  + z k

Ces réels sont les coordonnées de $u$ dans la base. Avec un point origine $O$ , $(O; , , k)$ est un repère de l'espace, et les coordonnées du point $M$ sont celles de $OM$ .

Formules en coordonnées

Objet	Coordonnées
$A B$	$(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$
$u + v$ , $k u$	$(x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$ , $(k x; k y; k z)$
Milieu $I$ de $[A B]$	$(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$

Exemple — Le repère du cube

Dans le repère $(A; A B, A D, A E)$ , on lit $A (0; 0; 0)$ , $B (1; 0; 0)$ , $D (0; 1; 0)$ , $E (0; 0; 1)$ , $C (1; 1; 0)$ , $F (1; 0; 1)$ , $H (0; 1; 1)$ et $G (1; 1; 1)$ .

Méthode — Tester la colinéarité en coordonnées

$u (x; y; z)$ et $v (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ sont colinéaires s'il existe $k$ tel que $x^{'} = k x$ , $y^{'} = k y$ et $z^{'} = k z$ . On calcule $k$ avec une coordonnée non nulle, puis on vérifie les deux autres.
Exemple : $u (2; - 1; 3)$ et $v (- 4; 2; - 6)$ : $k = - 2$ convient pour les trois coordonnées, donc $v = - 2 u$ .

Piège fréquent

Dans l'espace, le critère du plan « $x y^{'} - x^{'} y = 0$ » ne suffit pas : il ne teste que deux coordonnées. Les vecteurs $(1; 2; 0)$ et $(2; 4; 1)$ le vérifient, et pourtant ils ne sont pas colinéaires.

5. Positions relatives

Les cas possibles

Objets	Coplanaires / parallèles	Autres cas
Deux droites	parallèles (strictement ou confondues), ou sécantes en un point : elles sont alors coplanaires	non coplanaires : aucun point commun, sans être parallèles
Une droite et un plan	parallèles : droite incluse dans le plan, ou sans point commun	sécants : un unique point commun
Deux plans	parallèles : confondus ou sans point commun	sécants : leur intersection est une droite

Une droite sécante et une droite parallèle à un plan

La droite $d$ perce le plan $P$ en un unique point $I$ . La droite $d^{'}$ est parallèle à une droite $δ$ du plan : elle est donc parallèle à $P$ , sans le toucher.

Propriété — Critères de parallélisme

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan ; en vecteurs : son vecteur directeur est combinaison linéaire de deux vecteurs qui dirigent le plan.
Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à l'autre plan.
Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles.

Théorème — Théorème « du toit »

Si deux plans sécants contiennent respectivement deux droites parallèles $d_{1}$ et $d_{2}$ , alors leur droite d'intersection $Δ$ est parallèle à $d_{1}$ et à $d_{2}$ .

Exemple — Deux arêtes du cube

Les droites $(A B)$ et $(CG)$ ne sont ni parallèles ( $A B$ et $CG$ ne sont pas colinéaires), ni sécantes : le plan $(A BC)$ contient $(A B)$ et $C$ , mais pas $G$ . Elles sont non coplanaires.

Conseil bac

Au bac, « non coplanaires » est le cas qui piège : deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles. Pour conclure qu'elles sont parallèles, il faut des vecteurs directeurs colinéaires — rien d'autre.

L’essentiel à retenir

Chasles, combinaisons linéaires et colinéarité fonctionnent dans l'espace comme dans le plan.
Une droite : un point et un vecteur directeur non nul. Un plan : un point et deux vecteurs non colinéaires.
$A$ , $B$ , $C$ alignés $⟺$ $A B$ et $A C$ colinéaires.
$u, v, w$ coplanaires (avec $u, v$ non colinéaires) $⟺$ $w = a u + b v$ .
Trois vecteurs non coplanaires forment une base : tout vecteur s'écrit de façon unique $x  + y  + z k$ .
Colinéarité en coordonnées : le même coefficient $k$ pour les trois coordonnées.
Deux droites de l'espace peuvent être sécantes, parallèles, ou non coplanaires.
Deux plans sécants se coupent selon une droite ; théorème du toit pour en trouver la direction.

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