Mouvement et interactions

Décrire un mouvement

Position, vitesse, accélération et repère de Frenet

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Ce que tu dois savoir faire

Choisir un système et un référentiel, et écrire le vecteur position $OM$ dans un repère cartésien
Définir les vecteurs vitesse et accélération comme dérivées, et calculer leurs coordonnées
Remonter de l'accélération à la vitesse puis à la position (primitives et conditions initiales)
Reconnaître un mouvement rectiligne uniforme, uniformément varié, circulaire uniforme
Exprimer l'accélération dans le repère de Frenet : $a = \frac{d v}{d t} u_{t} + \frac{v ^{2}}{R} u_{n}$
Construire un vecteur vitesse sur une chronophotographie ou avec un programme Python

1. Système, référentiel et vecteur position

Décrire un mouvement, c'est dire où se trouve un objet à chaque instant, à quelle vitesse il va et comment cette vitesse change. Avant tout calcul, deux choix s'imposent : de quoi parle-t-on, et par rapport à quoi ?

Définition — Système et référentiel

Le système est l'objet étudié. On le modélise souvent par un point matériel $M$ : son centre de masse, qui porte toute la masse.
Le référentiel est l'objet de référence par rapport auquel on décrit le mouvement, muni d'un repère d'espace $(O; i, j, k)$ et d'une horloge.

Référentiels usuels : terrestre (le sol, le laboratoire), géocentrique (centre de la Terre et trois étoiles lointaines), héliocentrique (centre du Soleil et trois étoiles lointaines).

Définition — Vecteur position

À chaque instant $t$ , la position du point $M$ est repérée par le vecteur

OM (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

Les fonctions $x (t)$ , $y (t)$ et $z (t)$ sont les équations horaires du mouvement. L'ensemble des positions successives forme la trajectoire.

Piège fréquent

Un mouvement n'a de sens que relativement à un référentiel. Le passager assis dans un TGV est immobile dans le référentiel du train, mais file à $300 km \cdot h^{- 1}$ dans le référentiel terrestre. Écris toujours le référentiel choisi en tête de ta copie.

2. Le vecteur vitesse

Définition — Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

v (t) = \frac{d OM}{d t} v_{x} = \frac{d x}{d t}, v_{y} = \frac{d y}{d t}, v_{z} = \frac{d z}{d t}

Il est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, et sa norme $v = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$ s'exprime en $m \cdot s^{- 1}$ .

Méthode — Construire une vitesse sur une chronophotographie

Les positions $M_{0}, M_{1}, \dots$ sont enregistrées à intervalles réguliers $τ$ . On approche la vitesse au point $M_{i}$ par la vitesse moyenne entre les points qui l'encadrent :

v_{i} \approx \frac{M _{i - 1} M _{i + 1}}{2 τ} v_{i} \approx \frac{M _{i - 1} M _{i + 1}}{2 τ}

On trace le vecteur à partir de $M_{i}$ , parallèle à $M_{i - 1} M_{i + 1}$ , avec une échelle choisie (par exemple $1 cm$ pour $0, 5 m \cdot s^{- 1}$ ).

Chronophotographie d’un ballon

Le vecteur $v_{4}$ se construit à partir de $M_{3}$ et $M_{5}$ : il est tangent à la trajectoire en $M_{4}$ .

Exemple — En Python

Avec des listes de positions x et y relevées tous les tau secondes, la vitesse au point i se calcule ainsi :

for i in range(1, len(x) - 1):
    vx = (x[i+1] - x[i-1]) / (2 * tau)
    vy = (y[i+1] - y[i-1]) / (2 * tau)
    plt.quiver(x[i], y[i], vx, vy, angles='xy', scale_units='xy', scale=5)

La boucle commence à 1 et s'arrête avant le dernier point : il faut un voisin de chaque côté.

3. Le vecteur accélération

Définition — Vecteur accélération

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse, donc la dérivée seconde du vecteur position :

a (t) = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} OM}{d t ^{2}} a_{x} = \frac{d v _{x}}{d t} = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}

Sa norme s'exprime en $m \cdot s^{- 2}$ . Il mesure la variation du vecteur vitesse, en valeur et en direction.

Exemple — Dériver des équations horaires

Un mobile a pour équations horaires (en unités SI) $x (t) = 2 t$ et $y (t) = - 5 t^{2} + 10 t$ .

Vitesse : $v_{x} = 2$ et $v_{y} = - 10 t + 10$ . À $t = 0$ : $v = 2^{2} + 1 0^{2} \approx 10, 2 m \cdot s^{- 1}$ .
Accélération : $a_{x} = 0$ et $a_{y} = - 10$ . L'accélération est constante : $a = 10 m \cdot s^{- 2}$ , verticale, vers le bas.

Méthode — Le chemin inverse : de l’accélération à la position

On connaît $a (t)$ et la situation à $t = 0$ .

On cherche une primitive de chaque coordonnée de $a$ : on obtient $v (t)$ à une constante près.
On fixe la constante avec la vitesse initiale $v (0) = v_{0}$ .
On primitive à nouveau pour obtenir $OM (t)$ , et on fixe la constante avec la position initiale.

Par exemple, $a_{x} = 4$ et $v_{x} (0) = 1$ donnent $v_{x} = 4 t + 1$ ; puis $x (0) = 0$ donne $x = 2 t^{2} + t$ .

Piège fréquent

Une accélération n'est pas forcément un « gain de vitesse ». Un mobile qui freine accélère au sens physique ( $a$ est opposé à $v$ ), et un mobile qui tourne à vitesse constante a lui aussi une accélération non nulle, car la direction de $v$ change.

4. Mouvements rectilignes

Les mouvements à reconnaître

Mouvement	Vecteur vitesse	Vecteur accélération	Équation horaire (axe $O x$ )
rectiligne uniforme	constant	$a = 0$	$x = v_{0} t + x_{0}$
rectiligne uniformément accéléré	même sens que $a$ , norme croissante	constant, colinéaire à $v$	$x = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + x_{0}$
rectiligne uniformément ralenti	sens opposé à $a$ , norme décroissante	constant, colinéaire à $v$	$x = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t + x_{0}$ avec $a v_{0} < 0$

Propriété — Lecture graphique

Sur la courbe $x (t)$ , la vitesse $v_{x} (t)$ est le coefficient directeur de la tangente à l'instant $t$ .
Sur la courbe $v_{x} (t)$ , l'accélération $a_{x} (t)$ est le coefficient directeur de la tangente ; pour un mouvement uniformément varié, c'est une droite.

Mouvement uniformément accéléré avec $a_{x} = 2 m \cdot s^{- 2}$ et $v_{0} = 0$ . La tangente en $t = 2 s$ monte de $12 m$ en $3 s$ : $v_{x} (2) = 4 m \cdot s^{- 1}$ , ce que confirme $v_{x} = 2 t$ .

Exemple — Le freinage d’une ambulance

Une ambulance roule à $72 km \cdot h^{- 1}$ , soit $20 m \cdot s^{- 1}$ , et s'arrête en $4, 0 s$ avec une décélération constante.

$a_{x} = \frac{0 - 20}{4 , 0} = - 5, 0 m \cdot s^{- 2}$ .
Distance de freinage : $x (4, 0) = \frac{1}{2} (- 5, 0) (4, 0)^{2} + 20 \times 4, 0 = 40 m$ .

5. Mouvement circulaire et repère de Frenet

Définition — Repère de Frenet

Pour un point $M$ qui décrit un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ , on utilise un repère mobile, attaché à $M$ :

$u_{t}$ : vecteur unitaire tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement ;
$u_{n}$ : vecteur unitaire normal, orienté de $M$ vers le centre $O$ .

Dans ce repère, la vitesse est simplement $v = v u_{t}$ .

À connaître

a = \frac{d v}{d t} u_{t} + \frac{v ^{2}}{R} u_{n}

$a_{t} = \frac{d v}{d t}$ traduit le changement de valeur de la vitesse ; $a_{n} = \frac{v ^{2}}{R}$ , toujours positive, traduit le changement de direction.

Le repère de Frenet

Le vecteur accélération pointe toujours vers l'intérieur du virage. Ici le mobile accélère : $a$ a aussi une composante selon $u_{t}$ .

Propriété — Mouvement circulaire uniforme

Si la valeur $v$ est constante, $\frac{d v}{d t} = 0$ et il ne reste que

a = \frac{v ^{2}}{R} u_{n}

L'accélération est centripète (dirigée vers le centre) et de valeur constante $\frac{v ^{2}}{R}$ . Avec la vitesse angulaire $ω$ (en $rad \cdot s^{- 1}$ ) : $v = R ω$ et $a = R ω^{2}$ . La période vaut $T = \frac{2 π R}{v}$ .

Exemple — La centrifugeuse du laboratoire d’analyses

Pour séparer le plasma des cellules sanguines, un tube tourne à $3000 tr \cdot mi n^{- 1}$ à $R = 10 cm$ de l'axe.

$ω = \frac{2 π \times 3 000}{60} \approx 314 rad \cdot s^{- 1}$ , donc $v = R ω \approx 31, 4 m \cdot s^{- 1}$ .
$a = \frac{v ^{2}}{R} \approx 9, 87 \times 1 0^{3} m \cdot s^{- 2}$ , soit environ $1000 g$ : c'est cette énorme accélération qui fait sédimenter les globules en quelques minutes.

Conseil bac

Au bac, « uniforme » porte sur la valeur de la vitesse, pas sur le vecteur. Un mouvement circulaire uniforme est donc accéléré. Le jury attend la phrase : « la valeur de la vitesse est constante, mais sa direction change, donc $a \neq = 0$ ».

L’essentiel à retenir

Toujours préciser le système et le référentiel avant de décrire un mouvement.
$v = \frac{d OM}{d t}$ est tangent à la trajectoire ; $a = \frac{d v}{d t}$ .
Sur une chronophotographie : $v_{i} \approx \frac{M _{i - 1} M _{i + 1}}{2 τ}$ .
De $a$ à $OM$ : deux primitives, deux conditions initiales ( $v_{0}$ puis la position initiale).
Rectiligne uniforme : $a = 0$ . Uniformément varié : $a$ constant et colinéaire à $v$ .
Repère de Frenet : $a = \frac{d v}{d t} u_{t} + \frac{v ^{2}}{R} u_{n}$ , avec $u_{n}$ vers le centre.
Circulaire uniforme : $a$ centripète, $a = \frac{v ^{2}}{R} = R ω^{2}$ , et $T = \frac{2 π R}{v}$ .
« Uniforme » = valeur de la vitesse constante ; cela n'empêche pas une accélération.

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