Mouvement et interactions

Lois de Newton et mouvements dans un champ uniforme

Deuxième loi de Newton, chute libre, particule dans un champ électrique

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Ce que tu dois savoir faire

Énoncer et appliquer la deuxième loi de Newton dans un référentiel galiléen
Établir les équations horaires et l'équation de la trajectoire d'un projectile dans le champ de pesanteur
Calculer une flèche, une portée, une durée de vol
Utiliser la conservation de l'énergie mécanique pour trouver une vitesse
Étudier le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme $E = \frac{U}{d}$
Exprimer la vitesse de sortie d'un accélérateur linéaire : $\frac{1}{2} m v^{2} = ∣ q ∣ U$

1. Les lois de Newton

Définition — Référentiel galiléen

Un référentiel est galiléen si le principe d'inertie y est vérifié : un système isolé (ou pseudo-isolé) y est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pour des mouvements de courte durée ; le géocentrique et l'héliocentrique le sont pour l'étude des satellites et des planètes.

Théorème — Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système de masse $m$ constante est égale au produit de sa masse par l'accélération de son centre de masse :

\sum F_{ext} = m a_{G}

Plus généralement, $\sum F_{ext} = \frac{d p}{d t}$ , avec $p = m v$ la quantité de mouvement.

Propriété — Les deux autres lois

Principe d'inertie (1ʳᵉ loi) : $\sum F_{ext} = 0 ⟺ v_{G}$ constant. C'est un cas particulier de la deuxième loi.
Principe des actions réciproques (3ᵉ loi) : si $A$ exerce sur $B$ la force $F_{A / B}$ , alors $B$ exerce sur $A$ la force $F_{B / A} = - F_{A / B}$ .

Méthode — Résoudre un problème de mécanique

Définir le système et le référentiel (supposé galiléen).
Faire le bilan des forces et les représenter.
Appliquer la deuxième loi de Newton : on obtient $a$ .
Projeter sur les axes, puis primitiver deux fois avec les conditions initiales : on obtient $v (t)$ puis $OM (t)$ .
Éliminer le temps si l'on veut l'équation de la trajectoire $y (x)$ .

Piège fréquent

La deuxième loi relie les forces à l'accélération, pas à la vitesse. Une balle lancée vers le haut monte encore alors que la seule force (le poids) est dirigée vers le bas : sa vitesse est vers le haut, son accélération vers le bas.

2. Chute libre dans le champ de pesanteur

Un projectile est en chute libre lorsqu'il n'est soumis qu'à son poids $P = m g$ : on néglige les frottements et la poussée d'Archimède de l'air. Au voisinage du sol, le champ de pesanteur $g$ est uniforme : vertical, vers le bas, $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ .

Tir oblique

Le projectile part de $O$ avec une vitesse $v_{0}$ inclinée d'un angle $α$ sur l'horizontale. L'axe $O y$ est vertical vers le haut.

Démonstration exigible — Établir les équations horaires et la trajectoire

Système : le projectile ; référentiel terrestre supposé galiléen ; seule force : le poids.
Deuxième loi : $m a = m g$ , donc $a = g$ : $a_{x} = 0$ et $a_{y} = - g$ .
On primitive avec $v (0) = v_{0}$ de coordonnées $(v_{0} cos α; v_{0} sin α)$ :

v_{x} (t) = v_{0} cos α v_{y} (t) = - g t + v_{0} sin α

On primitive avec $x (0) = 0$ et $y (0) = 0$ :

x (t) = v_{0} cos α t y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin α t

On élimine $t = \frac{x}{v _{0} c o s α}$ :

y (x) = - \frac{g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α} x^{2} + x tan α

La trajectoire est une parabole contenue dans le plan vertical qui contient $v_{0}$ .

Avec $v_{0} = 10 m \cdot s^{- 1}$ et $α = 45°$ : $2 v_{0}^{2} cos^{2} α = 100$ , d'où $y = x - 0, 0981 x^{2}$ . Le sommet est au milieu de la portée.

Méthode — Flèche, portée et durée de vol

Sommet (flèche) : la vitesse y est horizontale, $v_{y} = 0$ , d'où $t_{S} = \frac{v _{0} s i n α}{g}$ ; on calcule ensuite $y (t_{S})$ .
Point d'impact : on résout $y = 0$ (ou $y =$ hauteur du sol) ; pour un tir depuis le sol, la portée vaut $\frac{v _{0}^{2} s i n ( 2 α )}{g}$ , maximale pour $α = 45°$ .

Piège fréquent

La masse n'intervient pas dans le mouvement de chute libre : elle se simplifie dans $m a = m g$ . Dans le vide, une plume et un marteau tombent ensemble.

3. Approche énergétique

Définition — Énergie mécanique

E_{m} = E_{c} + E_{pp} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g y

avec $y$ l'altitude, mesurée sur un axe vertical orienté vers le haut, et l'énergie potentielle de pesanteur nulle en $y = 0$ .

Propriété — Conservation

En l'absence de frottements, le poids est la seule force qui travaille : l'énergie mécanique se conserve. Entre deux points $A$ et $B$ :

\frac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g y_{B} = \frac{1}{2} m v_{A}^{2} + m g y_{A} ⟹ v_{B} = v_{A}^{2} + 2 g (y_{A} - y_{B})

Avec des frottements, $Δ E_{m} = W (f) < 0$ : l'énergie mécanique diminue.

Exemple — Vitesse d’arrivée au sol

Un objet tombe sans vitesse initiale d'une hauteur $h = 20 m$ . La conservation de l'énergie mécanique donne directement $v = 2 g h = 2 \times 9, 81 \times 20 \approx 19, 8 m \cdot s^{- 1}$ , sans passer par les équations horaires.

Conseil bac

Si la question porte sur une vitesse à une altitude donnée, pense d'abord à l'énergie : c'est plus court. Si elle porte sur une durée ou une position horizontale, il faut les équations horaires.

4. Particule chargée dans un champ électrique uniforme

Propriété — Champ entre les armatures d’un condensateur plan

Deux plaques parallèles distantes de $d$ , soumises à la tension $U$ , créent entre elles un champ $E$ uniforme, perpendiculaire aux plaques, orienté de la plaque $+$ vers la plaque $-$ :

E = \frac{U}{d} (V \cdot m^{- 1})

Une particule de charge $q$ y subit la force électrique $F = q E$ .

Déviation d’un électron

L'électron ( $q = - e$ ) subit une force opposée à $E$ , donc dirigée vers la plaque positive. Sa trajectoire entre les plaques est un arc de parabole, puis une droite à la sortie.

Propriété — Le poids est négligeable

Pour un électron dans $E = 1, 0 \times 1 0^{4} V \cdot m^{- 1}$ : $F = e E = 1, 6 \times 1 0^{- 15} N$ alors que $P = m_{e} g \approx 8, 9 \times 1 0^{- 30} N$ . Le rapport dépasse $1 0^{14}$ : on ne garde que la force électrique, et

a = \frac{q E}{m}

est constant. Tout se passe comme dans le champ de pesanteur, avec $\frac{q E}{m}$ à la place de $g$ .

Propriété — Accélérateur linéaire

Une particule de charge $q$ , partant d'une plaque quasiment au repos, est accélérée par la tension $U$ jusqu'à l'autre plaque. Le travail de la force électrique vaut $W = q U$ (en valeur absolue $∣ q ∣ U$ ), et le théorème de l'énergie cinétique donne :

\frac{1}{2} m v^{2} = ∣ q ∣ U ⟹ v = \frac{2∣ q ∣ U}{m}

Exemple — Le canon à électrons d’un tube à rayons X

En radiologie, des électrons accélérés sous $U = 1, 0 kV$ (bien plus en pratique) atteignent
$v = \frac{2 \times 1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{3}}{9 , 11 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 1, 9 \times 1 0^{7} m \cdot s^{- 1}$ , environ $6 %$ de la vitesse de la lumière. En frappant l'anode, ils produisent les rayons X. Les accélérateurs linéaires de radiothérapie reposent sur le même principe.

Piège fréquent

Le sens de la force dépend du signe de la charge : un proton est poussé dans le sens de $E$ , un électron en sens contraire. Vérifie toujours le sens de déviation sur ton schéma.

L’essentiel à retenir

Deuxième loi de Newton (référentiel galiléen, masse constante) : $\sum F_{ext} = m a_{G}$ .
Chute libre : $a = g$ , indépendamment de la masse.
Équations horaires : $x = v_{0} cos α t$ et $y = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin α t$ (départ en $O$ ).
Trajectoire : $y = - \frac{g}{2 v _{0}^{2} c o s ^{2} α} x^{2} + x tan α$ , une parabole.
Au sommet, $v_{y} = 0$ : $t_{S} = \frac{v _{0} s i n α}{g}$ .
Sans frottement, $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} + m g y$ se conserve.
Condensateur plan : $E = \frac{U}{d}$ , force $F = q E$ , poids négligeable pour une particule.
Accélérateur linéaire : $\frac{1}{2} m v^{2} = ∣ q ∣ U$ .

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