Mouvement et interactions

Mouvement des planètes et des satellites

Mouvement circulaire uniforme, lois de Kepler, satellites géostationnaires

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Ce que tu dois savoir faire

Exprimer la force de gravitation et le champ de gravitation créés par un astre
Démontrer qu'une orbite circulaire est parcourue d'un mouvement uniforme
Établir $v = \frac{GM}{r}$ et $T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$
Énoncer les trois lois de Kepler et les interpréter dans le cas d'une orbite circulaire
Établir et exploiter la troisième loi de Kepler, notamment pour déterminer la masse d'un astre
Caractériser un satellite géostationnaire et calculer son altitude

1. L’interaction gravitationnelle

Propriété — Loi de la gravitation universelle

Un astre de masse $M$ , à répartition sphérique de masse, exerce sur un corps de masse $m$ situé à la distance $r$ de son centre une force attractive :

F = G \frac{M m}{r ^{2}} u_{n}

où $u_{n}$ est unitaire, dirigé du corps vers le centre de l'astre, et $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} \cdot k g^{- 2}$ .

Définition — Champ de gravitation

$F = m G$ avec $G = \frac{GM}{r ^{2}}$ , dirigé vers le centre de l'astre. À la surface de la Terre, $\frac{G M _{T}}{R _{T}^{2}} \approx 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ : c'est (à la rotation terrestre près) l'intensité de la pesanteur. À l'altitude de la Station spatiale internationale, il vaut encore environ $8, 7 m \cdot s^{- 2}$ .

Quel référentiel ?

On étudie…	Référentiel
une planète, une comète autour du Soleil	héliocentrique
la Lune, un satellite artificiel autour de la Terre	géocentrique
une lune de Jupiter	« jovicentrique » (centre de Jupiter)

Piège fréquent

Les astronautes de l'ISS ne sont pas en apesanteur parce que la gravité aurait disparu : à $400 km$ d'altitude, elle vaut encore $90 %$ de sa valeur au sol. Ils flottent parce qu'eux et la station tombent ensemble en permanence autour de la Terre.

2. Mouvement circulaire d’un satellite

Un satellite sur orbite circulaire

Dans le référentiel géocentrique, le satellite n'est soumis qu'à la force de gravitation de la Terre, dirigée vers son centre.

Démonstration exigible — Le mouvement est uniforme, et sa vitesse vaut √(GM/r)

Système : le satellite de masse $m$ ; référentiel géocentrique supposé galiléen ; orbite circulaire de rayon $r$ .
Seule force : $F = \frac{GM m}{r ^{2}} u_{n}$ . La deuxième loi de Newton donne $a = \frac{GM}{r ^{2}} u_{n}$ .
Dans le repère de Frenet, $a = \frac{d v}{d t} u_{t} + \frac{v ^{2}}{r} u_{n}$ . Par identification :

selon $u_{t}$ : $\frac{d v}{d t} = 0$ , donc $v$ est constante : le mouvement est uniforme ;
selon $u_{n}$ : $\frac{v ^{2}}{r} = \frac{GM}{r ^{2}}$ , donc

v = \frac{GM}{r}

À connaître

T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}

Période de révolution : la durée d'un tour, à vitesse constante, sur une circonférence $2 π r$ .

Propriété — Ce qu’il faut remarquer

La vitesse et la période ne dépendent pas de la masse $m$ du satellite.
Plus le satellite est haut, plus il est lent et plus sa période est longue.
$r$ est la distance au centre de l'astre : $r = R + h$ , où $h$ est l'altitude.

Exemple — La Station spatiale internationale

Altitude $h = 400 km$ , donc $r = 6370 + 400 = 6770 km = 6, 77 \times 1 0^{6} m$ . Avec $M_{T} = 5, 97 \times 1 0^{24} kg$ :
$v = \frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 5 , 97 \times 1 0 ^{24}}{6 , 77 \times 1 0 ^{6}} \approx 7, 67 \times 1 0^{3} m \cdot s^{- 1}$ et $T = \frac{2 π r}{v} \approx 5, 55 \times 1 0^{3} s$ , soit environ $92$ minutes : près de seize tours de Terre par jour.

Piège fréquent

L'erreur la plus fréquente : prendre l'altitude $h$ au lieu du rayon $r = R_{T} + h$ , ou oublier de convertir les kilomètres en mètres. Écris toujours la ligne $r = \dots m$ avant d'appliquer une formule.

3. Les trois lois de Kepler

Théorème — Lois de Kepler (1609-1619)

Dans le référentiel héliocentrique :

Loi des orbites : chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.
Loi des aires : le segment Soleil-planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
Loi des périodes : le rapport $\frac{T ^{2}}{a ^{3}}$ est le même pour toutes les planètes du Soleil, $a$ étant le demi-grand axe de l'orbite.

Ces lois s'appliquent à tout système d'objets en orbite autour d'un même astre (satellites de la Terre, lunes de Jupiter…).

Loi des orbites et loi des aires

L'excentricité est volontairement exagérée : les orbites des planètes sont presque des cercles. La loi des aires impose que la planète aille plus vite près du Soleil (périhélie) que loin de lui (aphélie).

Propriété — Le cas du cercle

Un cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus au centre. Pour une orbite circulaire, la loi des aires impose que des arcs égaux soient parcourus en des durées égales : le mouvement est uniforme. On retrouve le résultat obtenu avec la loi de Newton.

Démonstration exigible — Établir la troisième loi pour une orbite circulaire

On part de $T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ . En élevant au carré : $T^{2} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{GM}$ , d'où

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM}

Le rapport ne dépend que de la masse $M$ de l'astre central : il est le même pour tous les objets qui gravitent autour de lui.

En prenant l'année pour unité de temps et l'unité astronomique ( $1 UA = 1, 50 \times 1 0^{11} m$ ) pour unité de longueur, la Terre donne $\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = 1$ : toutes les planètes sont alors sur la droite $T^{2} = a^{3}$ .

4. Exploiter la troisième loi

Méthode — Peser un astre grâce à l’un de ses satellites

On mesure le rayon de l'orbite $r$ et la période $T$ d'un satellite naturel, puis :

M = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}

C'est ainsi qu'on connaît la masse du Soleil, de Jupiter ou… de la Terre (grâce à la Lune). Conversions préalables : $r$ en mètres, $T$ en secondes.

Exemple — La masse de Jupiter

Io, satellite de Jupiter, décrit une orbite quasi circulaire de rayon $r = 4, 22 \times 1 0^{8} m$ en $T = 1, 77$ jour $= 1, 77 \times 86400 \approx 1, 53 \times 1 0^{5} s$ .
$M_{J} = \frac{4 π ^{2} \times ( 4 , 22 \times 1 0 ^{8} ) ^{3}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times ( 1 , 53 \times 1 0 ^{5} ) ^{2}} \approx 1, 90 \times 1 0^{27} kg$ , environ $318$ fois la masse de la Terre.

Méthode — Comparer deux objets autour du même astre

Pas besoin de $G$ ni de $M$ : $\frac{T _{1}^{2}}{a _{1}^{3}} = \frac{T _{2}^{2}}{a _{2}^{3}}$ , donc $T_{2} = T_{1} (\frac{a _{2}}{a _{1}})^{3/2}$ .
Mars est à $a = 1, 52 UA$ du Soleil : $T_{Mars} = 1 \times 1, 5 2^{3/2} \approx 1, 87$ an.

5. Les satellites géostationnaires

Définition — Satellite géostationnaire

Un satellite est géostationnaire s'il est immobile dans le référentiel terrestre : il reste toujours au-dessus du même point de l'équateur. Il doit pour cela :

décrire une orbite circulaire dans le plan de l'équateur ;
tourner dans le même sens que la Terre ;
avoir une période égale à la période de rotation propre de la Terre, le jour sidéral : $T = 23 h 56 min 4 s = 86164 s$ .

Propriété — Son altitude est imposée

De $\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{T}}$ on tire $r = (\frac{G M _{T} T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3} \approx 4, 22 \times 1 0^{7} m$ , soit une altitude $h = r - R_{T} \approx 3, 58 \times 1 0^{4} km$ . Tous les satellites géostationnaires sont sur la même orbite.

Ils servent aux télécommunications et à la météorologie : une antenne fixe au sol peut les viser en permanence. Les satellites de géolocalisation (GPS, Galileo), eux, sont sur des orbites plus basses (environ $20000 km$ ) et défilent dans le ciel.

Conseil bac

Au bac, on attend les trois conditions (circulaire et équatoriale, même sens, même période) et on accepte souvent $T \approx 24 h$ . Si l'énoncé donne $86164 s$ , utilise cette valeur : c'est le jour sidéral, la vraie période de rotation de la Terre par rapport aux étoiles.

L’essentiel à retenir

Force de gravitation : $F = G \frac{M m}{r ^{2}}$ , dirigée vers le centre de l'astre ; $r$ = distance au centre.
Orbite circulaire : le mouvement est uniforme (la force est purement normale).
$v = \frac{GM}{r}$ et $T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$ , indépendants de la masse du satellite.
1ʳᵉ loi de Kepler : ellipse dont l'astre attracteur occupe un foyer.
2ᵉ loi : aires égales en durées égales ; la planète va plus vite au périhélie.
3ᵉ loi : $\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM}$ , le même pour tous les satellites d'un même astre.
Masse d'un astre : $M = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$ , à partir de l'orbite d'un de ses satellites.
Géostationnaire : orbite circulaire équatoriale, même sens que la Terre, $T = 86164 s$ , altitude $\approx 36000 km$ .

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