Mouvement et interactions

Mécanique des fluides

Poussée d’Archimède, débit, relation de Bernoulli

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Ce que tu dois savoir faire

Expliquer l'origine de la poussée d'Archimède et utiliser son expression vectorielle
Prévoir si un objet flotte, coule, et quelle fraction de son volume est immergée
Définir et calculer un débit volumique $D_{V} = v S$
Exploiter la conservation du débit en régime permanent : $S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$
Utiliser la relation de Bernoulli (fournie) pour étudier un écoulement, l'effet Venturi

1. Pression dans un fluide au repos

Définition — Fluide et pression

Un fluide (liquide ou gaz) n'a pas de forme propre. Il exerce sur toute surface $S$ en contact une force pressante perpendiculaire à la surface, de valeur $F = p S$ ; $p$ est la pression, en pascals ( $1 Pa = 1 N \cdot m^{- 2}$ ).
Autres unités : $1 bar = 1 0^{5} Pa$ ; en médecine, $1 mmHg \approx 133, 3 Pa$ .

À connaître

p_{B} - p_{A} = ρ g (z_{A} - z_{B})

Loi fondamentale de la statique des fluides (fluide incompressible, axe $O z$ vers le haut) : la pression augmente avec la profondeur.

Dans l'eau de mer ( $ρ = 1025 kg \cdot m^{- 3}$ ), la pression gagne environ $1 bar$ tous les $10 m$ . À $10 m$ de fond, l'air des poumons d'un plongeur est comprimé à la moitié de son volume de surface.

Exemple — Pression artérielle debout

Chez une personne debout, les pieds sont environ $1, 3 m$ sous le cœur. Avec $ρ_{sang} = 1060 kg \cdot m^{- 3}$ :
$Δ p = ρ g h = 1060 \times 9, 81 \times 1, 3 \approx 1, 35 \times 1 0^{4} Pa \approx 101 mmHg$ .
La pression dans les artères des chevilles dépasse celle mesurée au bras d'environ $100 mmHg$ : c'est pourquoi on mesure la tension au bras, à hauteur du cœur.

2. La poussée d’Archimède

D’où vient la poussée ?

Les forces pressantes s'exercent sur toutes les faces. Celles du bas, plus profondes, sont plus intenses que celles du haut : leur somme est une force verticale, vers le haut.

Propriété — Poussée d’Archimède

Tout corps immergé (totalement ou partiellement) dans un fluide au repos subit une force verticale, dirigée vers le haut, égale à l'opposé du poids du fluide déplacé :

Π = - ρ_{fluide} V_{imm} g

$ρ_{fluide}$ : masse volumique du fluide (pas de l'objet) ;
$V_{imm}$ : volume immergé de l'objet.

Méthode — Flotte ou coule ?

Pour un objet entièrement immergé, on compare son poids $P = ρ_{objet} V g$ à la poussée maximale $Π = ρ_{fluide} V g$ :

$ρ_{objet} > ρ_{fluide}$ : il coule ;
$ρ_{objet} < ρ_{fluide}$ : il remonte et flotte, en partie émergé.

À l'équilibre d'un objet flottant, $Π = P$ , donc $ρ_{fluide} V_{imm} = ρ_{objet} V$ :

\frac{V _{imm}}{V} = \frac{ρ _{objet}}{ρ _{fluide}}

Exemple — La partie cachée de l’iceberg

$ρ_{glace} = 917 kg \cdot m^{- 3}$ et $ρ_{eau de mer} = 1025 kg \cdot m^{- 3}$ : $\frac{V _{imm}}{V} = \frac{917}{1 025} \approx 0, 895$ . Près de $90 %$ de l'iceberg est sous l'eau.

Piège fréquent

La poussée ne dépend ni de la masse de l'objet ni de la profondeur (tant qu'il est entièrement immergé) : seulement du volume immergé et de la masse volumique du fluide. Dans l'air, elle existe aussi, mais elle est en général négligeable devant le poids (sauf pour un ballon à hélium).

3. Écoulement et débit

Définition — Régime permanent et débit volumique

Un écoulement est permanent (ou stationnaire) si la vitesse du fluide en chaque point ne varie pas au cours du temps. Le débit volumique est le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps :

D_{V} = \frac{V}{Δ t} = v S

en $m^{3} \cdot s^{- 1}$ , avec $v$ la vitesse moyenne du fluide et $S$ l'aire de la section.

Propriété — Conservation du débit

Pour un fluide incompressible en régime permanent, le débit est le même à travers toutes les sections d'une conduite :

D_{V} = S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}

Là où la conduite se rétrécit, le fluide va plus vite. Pour une conduite circulaire, $S = π r^{2}$ : diviser le rayon par $2$ multiplie la vitesse par $4$ .

Exemple — Une perfusion

Une poche de $500 mL$ s'écoule en $4, 0 h$ : $D_{V} = \frac{5 , 00 \times 1 0 ^{- 4}}{4 , 0 \times 3 600} \approx 3, 5 \times 1 0^{- 8} m^{3} \cdot s^{- 1}$ .
Dans le cathéter de rayon $0, 40 mm$ , $S = π (0, 40 \times 1 0^{- 3})^{2} \approx 5, 0 \times 1 0^{- 7} m^{2}$ et $v = \frac{D _{V}}{S} \approx 6, 9 \times 1 0^{- 2} m \cdot s^{- 1}$ : $7 cm$ par seconde.

Exemple — Dans l’aorte

Le cœur éjecte au repos environ $5, 0 L \cdot mi n^{- 1}$ , soit $8, 3 \times 1 0^{- 5} m^{3} \cdot s^{- 1}$ . Dans l'aorte de rayon $1, 0 cm$ : $v = \frac{8 , 3 \times 1 0 ^{- 5}}{π \times 0 , 01 0 ^{2}} \approx 0, 27 m \cdot s^{- 1}$ en moyenne.

4. La relation de Bernoulli

Propriété — Relation de Bernoulli (fournie au bac)

Pour un fluide parfait (sans viscosité) et incompressible, en régime permanent, le long d'une ligne de courant :

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z = constante

C'est une conservation de l'énergie, écrite par unité de volume : $\frac{1}{2} ρ v^{2}$ est l'énergie cinétique volumique, $ρ g z$ l'énergie potentielle volumique.

Propriété — Effet Venturi

Dans une conduite horizontale ( $z$ constant), $p + \frac{1}{2} ρ v^{2}$ est constant. Là où la section diminue, la vitesse augmente (conservation du débit), donc la pression diminue :

p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} ρ (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

Tube de Venturi

Les tubes verticaux indiquent la pression : le niveau est plus bas dans l'étranglement, où le fluide va plus vite.

Exemple — Une sténose artérielle

Une plaque d'athérome divise par $2$ le diamètre d'une artère : la section est divisée par $4$ et la vitesse multipliée par $4$ . Si $v_{1} = 0, 50 m \cdot s^{- 1}$ , alors $v_{2} = 2, 0 m \cdot s^{- 1}$ et
$p_{1} - p_{2} = \frac{1}{2} \times 1060 \times (2, 0^{2} - 0, 5 0^{2}) \approx 2, 0 \times 1 0^{3} Pa \approx 15 mmHg$ .
Cette chute de pression locale est détectée à l'échographie Doppler, qui mesure l'accélération du sang.

Propriété — Vidange d’un réservoir : formule de Torricelli

Entre la surface libre d'un grand réservoir (vitesse quasi nulle, pression atmosphérique) et un orifice situé $h$ plus bas (pression atmosphérique aussi), Bernoulli donne $ρ g h = \frac{1}{2} ρ v^{2}$ , donc

v = 2 g h

La même vitesse qu'un objet en chute libre de hauteur $h$ !

Conseil bac

Pour appliquer Bernoulli, choisis deux points sur la même ligne de courant où tu connais le plus de grandeurs : une surface libre ( $p = p_{atm}$ , $v \approx 0$ ), un jet à l'air libre ( $p = p_{atm}$ ), deux sections d'une même conduite (relie $v_{1}$ et $v_{2}$ par le débit).

L’essentiel à retenir

Statique des fluides : $p_{B} - p_{A} = ρ g (z_{A} - z_{B})$ ; la pression croît avec la profondeur.
Poussée d'Archimède : $Π = - ρ_{fluide} V_{imm} g$ , verticale vers le haut.
Elle naît de la différence de pression entre le bas et le haut de l'objet.
Objet flottant : $\frac{V _{imm}}{V} = \frac{ρ _{objet}}{ρ _{fluide}}$ .
Débit volumique : $D_{V} = \frac{V}{Δ t} = v S$ , en $m^{3} \cdot s^{- 1}$ .
Fluide incompressible en régime permanent : $S_{1} v_{1} = S_{2} v_{2}$ ; plus étroit = plus rapide.
Bernoulli : $p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z =$ constante le long d'une ligne de courant.
Effet Venturi : là où la vitesse augmente, la pression diminue.

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