L'énergie : conversions et transferts

Thermodynamique

Premier principe, gaz parfait, transferts thermiques et bilan d’énergie

Tout est gratuit et lisible sans compte. Crée ton compte gratuit pour garder ta progression.

Ce que tu dois savoir faire

Décrire le modèle du gaz parfait et exploiter l'équation d'état $p V = n RT$
Énoncer le premier principe $Δ U = W + Q$ et l'appliquer avec les bonnes conventions de signe
Relier la variation d'énergie interne d'un système incompressible à sa variation de température : $Δ U = m c Δ T$
Distinguer conduction, convection, rayonnement ; utiliser le flux et la résistance thermique
Décrire qualitativement le bilan énergétique de la Terre et l'effet de serre
Établir et résoudre l'équation différentielle d'un système échangeant de l'énergie selon la loi de Newton

1. Le modèle du gaz parfait

Un gaz est formé d'un nombre immense d'entités (molécules) en agitation désordonnée. Les grandeurs que l'on mesure à notre échelle en sont la traduction : la pression traduit les chocs des molécules sur les parois, la température l'intensité de leur agitation.

Définition — Gaz parfait

Un gaz est dit parfait quand on peut négliger les interactions entre ses molécules (gaz suffisamment dilué : basse pression). Il obéit alors à l'équation d'état :

p V = n RT

$p$ en pascals ( $Pa$ ), $V$ en $m^{3}$ , $n$ en moles ;
$T$ : température absolue en kelvins, $T (K) = θ (° C) + 273, 15$ ;
$R = 8, 314 J \cdot mo l^{- 1} \cdot K^{- 1}$ , constante des gaz parfaits.

Exemple — Une bouteille d’oxygène médical

Bouteille de $V = 5, 0 L$ remplie à $p = 200 bar$ à $20 ° C$ :
$n = \frac{p V}{RT} = \frac{200 \times 1 0 ^{5} \times 5 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{8 , 314 \times 293 , 15} \approx 41 mol$ .
Détendu à $1, 0 bar$ à la même température, ce gaz occupe $200$ fois plus de place : $1, 0 m^{3}$ , soit $1000 L$ d'oxygène pour le patient.

Propriété — Masse volumique d’un gaz parfait

Avec $n = \frac{m}{M}$ : $ρ = \frac{m}{V} = \frac{pM}{RT}$ . Pour l'air ( $M = 29 g \cdot mo l^{- 1}$ ) à $1, 013 \times 1 0^{5} Pa$ et $20 ° C$ , on trouve $ρ \approx 1, 2 kg \cdot m^{- 3}$ .

Piège fréquent

Dans $p V = n RT$ , les pièges sont les unités : la température en kelvins (jamais en degrés Celsius), le volume en $m^{3}$ ( $1 L = 1 0^{- 3} m^{3}$ ), la pression en pascals ( $1 bar = 1 0^{5} Pa$ ).

2. Énergie interne et premier principe

Définition — Énergie interne

L'énergie interne $U$ d'un système est la somme des énergies cinétiques microscopiques (agitation) et des énergies potentielles d'interaction entre ses entités. On n'en mesure jamais la valeur, seulement les variations $Δ U$ .

Théorème — Premier principe de la thermodynamique

Pour un système fermé, au repos macroscopique, qui échange de l'énergie avec l'extérieur sous forme de travail $W$ et de transfert thermique $Q$ :

Δ U = W + Q

Convention : $W$ et $Q$ sont comptés positivement quand le système les reçoit, négativement quand il les cède.

Propriété — Système incompressible (solide, liquide)

Pour un corps incompressible de masse $m$ et de capacité thermique massique $c$ (en $J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ), sans changement d'état :

Δ U = m c Δ T = C Δ T

où $C = m c$ est la capacité thermique du système (en $J \cdot K^{- 1}$ ). Pour l'eau, $c = 4180 J \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$ : c'est une valeur très élevée, qui explique le rôle régulateur de l'eau pour le climat… et pour notre corps.

Exemple — Réchauffer un biberon

On réchauffe $200 g$ de lait (assimilé à de l'eau) de $4 ° C$ à $37 ° C$ . Aucun travail : $Δ U = Q$ .
$Q = m c Δ T = 0, 200 \times 4180 \times 33 \approx 2, 76 \times 1 0^{4} J$ . Avec un four de $800 W$ parfaitement efficace, il faut $\frac{2 , 76 \times 1 0 ^{4}}{800} \approx 35 s$ .

Piège fréquent

Une variation de température a la même valeur en kelvins et en degrés Celsius : $Δ T = 33 K = 33 ° C$ . Pas besoin d'ajouter $273, 15$ pour un écart, contrairement à $p V = n RT$ .

3. Les transferts thermiques

Trois modes de transfert

Mode	Mécanisme	Exemple
conduction	transmission de proche en proche de l'agitation, sans déplacement de matière	la chaleur traverse un mur, une casserole
convection	déplacement de matière (fluide) qui emporte son énergie	radiateur et courants d'air, circulation sanguine
rayonnement	émission et absorption d'ondes électromagnétiques, même dans le vide	Soleil, rayonnement infrarouge du corps humain

Définition — Flux thermique

Le flux thermique est l'énergie transférée par unité de temps : $Φ = \frac{Q}{Δ t}$ , en watts. Il va spontanément du corps chaud vers le corps froid.

À connaître

Φ = \frac{T _{1} - T _{2}}{R _{th}} R_{th} = \frac{e}{λ S}

Résistance thermique $R_{th}$ (en $K \cdot W^{- 1}$ ) d'une paroi d'épaisseur $e$ , d'aire $S$ , de conductivité thermique $λ$ (en $W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ). Plus elle est grande, mieux la paroi isole.

Conduction à travers une paroi

Le flux est proportionnel à l'écart de température et inversement proportionnel à la résistance thermique : c'est l'analogue de la loi d'Ohm, $I = \frac{U}{R}$ .

Exemple — Isoler un mur

$10 cm$ de laine de verre ( $λ = 0, 040 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ) sur $20 m^{2}$ : $R_{th} = \frac{0 , 10}{0 , 040 \times 20} = 0, 125 K \cdot W^{- 1}$ . Avec $19 ° C$ dedans et $4 ° C$ dehors : $Φ = \frac{15}{0 , 125} = 120 W$ .

Propriété — Résistances en série

Plusieurs couches traversées successivement par le même flux ont des résistances qui s'additionnent : $R_{th} = R_{1} + R_{2} + \dots$ C'est l'intérêt du double vitrage : la lame d'air (très mauvais conducteur) ajoute une grande résistance.

4. Bilan énergétique de la Terre et effet de serre

La Terre reçoit en moyenne environ $340 W \cdot m^{- 2}$ du Soleil, principalement dans le visible. Environ $30 %$ est réfléchi vers l'espace (c'est l'albédo) ; le reste est absorbé par le sol et l'atmosphère. En retour, la Terre émet un rayonnement infrarouge. Quand la température est stable, la puissance absorbée est égale à la puissance émise.

L’effet de serre, schéma de principe

Certains gaz (vapeur d'eau, $C O_{2}$ , méthane) laissent passer le visible mais absorbent l'infrarouge émis par le sol, puis en réémettent une partie vers le sol.

Propriété — Effet de serre

Sans atmosphère, la température moyenne de la surface serait d'environ $- 18 ° C$ ; elle est de $+ 15 ° C$ grâce à l'effet de serre naturel. L'augmentation de la concentration en gaz à effet de serre due aux activités humaines renforce cet effet : le sol reçoit davantage d'infrarouge, et sa température d'équilibre augmente.

Piège fréquent

L'effet de serre n'est pas un « trou dans la couche d'ozone » et n'est pas dû au rayonnement ultraviolet. Il concerne l'infrarouge émis par la Terre elle-même.

5. Évolution de la température : la loi de Newton

Propriété — Loi phénoménologique de Newton (fournie)

Un système de température $T$ , en contact avec un milieu extérieur (thermostat) de température constante $T_{ext}$ , reçoit par convection un flux

Φ = h S (T_{ext} - T)

avec $S$ la surface d'échange et $h$ le coefficient d'échange (en $W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ ).

Démonstration exigible — Établir et résoudre l’équation différentielle

Système incompressible de capacité thermique $C = m c$ . Entre $t$ et $t + d t$ , le premier principe (sans travail) donne $d U = δ Q$ , soit $C d T = Φ d t$ :

C \frac{d T}{d t} = h S (T_{ext} - T) ⟺ \frac{d T}{d t} + \frac{1}{τ} T = \frac{T _{ext}}{τ} avec τ = \frac{m c}{h S}

Les solutions sont $T (t) = T_{ext} + K e^{- t / τ}$ . Avec $T (0) = T_{0}$ : $K = T_{0} - T_{ext}$ , d'où

T (t) = T_{ext} + (T_{0} - T_{ext}) e^{- t / τ}

Refroidissement d'un thé de $80 ° C$ dans une pièce à $20 ° C$ , avec $τ = 10 min$ . La tangente à l'origine coupe l'asymptote $T = T_{ext}$ en $t = τ$ . Au bout de $5 τ$ , l'équilibre est pratiquement atteint.

Méthode — Trouver la durée pour atteindre une température

On résout $T (t) = T_{1}$ :
$e^{- t / τ} = \frac{T _{1} - T _{ext}}{T _{0} - T _{ext}} ⟺ t = τ ln (\frac{T _{0} - T _{ext}}{T _{1} - T _{ext}})$ .

Conseil bac

Pour vérifier une solution proposée par l'énoncé, remplace-la dans l'équation différentielle et vérifie la condition initiale. Le correcteur attend les deux.

L’essentiel à retenir

Gaz parfait : $p V = n RT$ , avec $p$ en $Pa$ , $V$ en $m^{3}$ , $T$ en kelvins.
Premier principe : $Δ U = W + Q$ ; ce que le système reçoit est compté positivement.
Système incompressible : $Δ U = m c Δ T$ ; un écart de température est le même en K et en °C.
Conduction, convection, rayonnement ; le transfert va du chaud vers le froid.
Flux thermique $Φ = \frac{Q}{Δ t}$ et $Φ = \frac{T _{1} - T _{2}}{R _{th}}$ , avec $R_{th} = \frac{e}{λ S}$ .
Effet de serre : l'atmosphère absorbe l'infrarouge émis par le sol et en renvoie une partie.
Loi de Newton : $m c \frac{d T}{d t} = h S (T_{ext} - T)$ , solution $T = T_{ext} + (T_{0} - T_{ext}) e^{- t / τ}$ , $τ = \frac{m c}{h S}$ .

Et pour t’entraîner : 10 QCM corrigés et 4 exercices type bac, avec indices et corrections rédigées.