L'énergie : conversions et transferts

Le condensateur et le circuit RC

Charge, décharge, constante de temps et équation différentielle

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Ce que tu dois savoir faire

Relier l'intensité d'un courant variable au débit de charges : $i = \frac{d q}{d t}$
Utiliser la relation $q = C u_{C}$ et en déduire $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$
Établir l'équation différentielle de la charge et de la décharge d'un condensateur dans un circuit RC
Vérifier ou trouver la solution $u_{C} (t)$ avec les conditions initiales
Déterminer le temps caractéristique $τ = RC$ par le calcul ou graphiquement (tangente, 63 %, 37 %)
Citer et expliquer le principe de capteurs capacitifs

1. Courant variable et condensateur

Définition — Intensité en régime variable

L'intensité est le débit de charges électriques à travers une section du circuit :

i (t) = \frac{d q}{d t}

avec $q$ en coulombs ( $C$ ), $t$ en secondes, $i$ en ampères ( $1 A = 1 C \cdot s^{- 1}$ ). En régime continu, on retrouve $I = \frac{Q}{Δ t}$ .

Définition — Condensateur

Un condensateur est formé de deux conducteurs (les armatures) séparés par un isolant. Quand il est chargé, ses armatures portent des charges opposées $q_{A} = + q$ et $q_{B} = - q$ , proportionnelles à la tension entre elles :

q = C u_{C}

$C$ est la capacité du condensateur, en farads ( $F$ ). Ordres de grandeur : du picofarad ( $1 0^{- 12} F$ ) au millifarad ; les supercondensateurs dépassent le farad.

Structure d’un condensateur

Aucune charge ne traverse l'isolant : le courant « traverse » le condensateur parce que des charges arrivent sur une armature pendant que d'autres quittent l'autre.

À connaître

i = \frac{d q}{d t} = C \frac{d u _{C}}{d t}

En convention récepteur, avec $i$ orienté vers l'armature qui porte $q$ . Conséquence : la tension aux bornes d'un condensateur ne peut pas varier brutalement (sinon $i$ serait infini).

Propriété — Capacité d’un condensateur plan

Pour deux armatures planes d'aire $S$ séparées d'une distance $d$ , la capacité est proportionnelle à $\frac{S}{d}$ (et dépend de l'isolant). Rapprocher les armatures ou augmenter leur surface en regard augmente $C$ : c'est le principe des capteurs capacitifs.

2. La charge d’un condensateur

Le circuit RC série

Interrupteur en position 1 : le générateur idéal de tension $E$ charge le condensateur à travers $R$ . En position 2 : le condensateur se décharge dans $R$ .

Démonstration exigible — Équation différentielle de la charge

Loi des mailles (K en 1) : $E = u_{R} + u_{C}$ . Loi d'Ohm : $u_{R} = R i$ , et $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ . Donc

RC \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = E ⟺ \frac{d u _{C}}{d t} + \frac{1}{τ} u_{C} = \frac{E}{τ} avec τ = RC

Les solutions sont $u_{C} (t) = E + K e^{- t / τ}$ . Le condensateur est initialement déchargé : $u_{C} (0) = 0$ , donc $K = - E$ et

u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ})

Charge sous $E = 5, 0 V$ avec $R = 10 kΩ$ et $C = 100 μ F$ , soit $τ = 1, 0 s$ . La tangente à l'origine coupe l'asymptote $u_{C} = E$ à $t = τ$ .

Propriété — Intensité pendant la charge

$i = C \frac{d u _{C}}{d t} = \frac{E}{R} e^{- t / τ}$ : le courant est maximal au départ ( $\frac{E}{R}$ ), puis s'annule quand le condensateur est chargé. En régime permanent, un condensateur chargé se comporte comme un interrupteur ouvert.

3. La décharge

Démonstration exigible — Équation différentielle de la décharge

K en 2, le générateur est hors circuit : $u_{R} + u_{C} = 0$ , donc

RC \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = 0

Solutions : $u_{C} (t) = K e^{- t / τ}$ . Initialement chargé sous $E$ : $u_{C} (0) = E$ , d'où

u_{C} (t) = E e^{- t / τ} i (t) = C \frac{d u _{C}}{d t} = - \frac{E}{R} e^{- t / τ}

Le signe « $-$ » indique que le courant circule en sens inverse de la charge.

Décharge : à $t = τ$ , il reste $e^{- 1} \approx 37 %$ de la tension initiale. La tangente à l'origine coupe l'axe des temps en $t = τ$ .

Valeurs à connaître

$t$	$τ$	$2 τ$	$3 τ$	$5 τ$
charge : $\frac{u _{C}}{E}$	$63 %$	$86 %$	$95 %$	$99 %$
décharge : $\frac{u _{C}}{E}$	$37 %$	$14 %$	$5 %$	$0, 7 %$

4. Le temps caractéristique τ = RC

Propriété — Homogénéité

$τ = RC$ est bien un temps : $R = \frac{U}{I}$ et $C = \frac{Q}{U} = \frac{I Δ t}{U}$ , donc $RC$ a la dimension de $\frac{U}{I} \times \frac{I Δ t}{U} = Δ t$ . Un ohm multiplié par un farad donne une seconde.

Méthode — Trois façons de mesurer τ sur une courbe

Tangente à l'origine : elle coupe l'asymptote finale ( $u_{C} = E$ pour la charge, $u_{C} = 0$ pour la décharge) à $t = τ$ .
Point à 63 % (charge) ou 37 % (décharge) : on lit l'abscisse du point d'ordonnée $0, 63 E$ ou $0, 37 E$ .
Linéarisation (décharge) : $ln u_{C} = ln E - \frac{t}{τ}$ ; la courbe de $ln u_{C}$ en fonction de $t$ est une droite de pente $- \frac{1}{τ}$ .

Exemple — Calcul direct

$R = 4, 7 kΩ$ et $C = 220 μ F$ : $τ = 4, 7 \times 1 0^{3} \times 220 \times 1 0^{- 6} \approx 1, 0 s$ . Le condensateur est considéré comme chargé au bout de $5 τ \approx 5, 2 s$ .

Piège fréquent

Les préfixes sont le premier piège : $μ F = 1 0^{- 6} F$ , $nF = 1 0^{- 9} F$ , $kΩ = 1 0^{3} Ω$ , $MΩ = 1 0^{6} Ω$ . Le second : $τ$ n'est pas la durée de la charge, seulement son échelle de temps.

5. Applications : capteurs et défibrillateur

Propriété — Capteurs capacitifs

Un capteur capacitif traduit une grandeur physique en variation de capacité, que l'électronique détecte (par exemple par une variation de $τ$ ) :

écran tactile : le doigt, conducteur, modifie la capacité locale de la grille d'électrodes ;
accéléromètre de smartphone : une armature mobile se rapproche ou s'éloigne de l'armature fixe ;
capteur de pression ou microphone électrostatique : une membrane-armature se déforme ;
capteur d'humidité ou de niveau : l'isolant entre les armatures change.

Exemple — Le défibrillateur

Un défibrillateur charge lentement un condensateur (quelques secondes, avec une batterie), puis le décharge en quelques millisecondes à travers le thorax du patient. Avec $C = 100 μ F$ et une résistance thoracique $R \approx 50 Ω$ : $τ = RC = 5, 0 ms$ .
L'énergie stockée, $E = \frac{1}{2} C u_{C}^{2}$ (relation fournie par les énoncés), vaut sous $2, 0 kV$ : $\frac{1}{2} \times 100 \times 1 0^{- 6} \times (2, 0 \times 1 0^{3})^{2} = 200 J$ .

Conseil bac

Pour établir une équation différentielle de circuit, écris toujours dans cet ordre : loi des mailles, loi d'Ohm, $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ , puis remplace. Et termine par la forme $\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{1}{RC} u_{C} = \dots$ : on identifie alors $τ$ sans effort.

L’essentiel à retenir

$i = \frac{d q}{d t}$ et $q = C u_{C}$ , donc $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ (convention récepteur).
La tension aux bornes d'un condensateur est continue : elle ne saute jamais.
Charge : $RC \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = E$ , solution $u_{C} = E (1 - e^{- t / τ})$ .
Décharge : $RC \frac{d u _{C}}{d t} + u_{C} = 0$ , solution $u_{C} = E e^{- t / τ}$ .
$τ = RC$ en secondes ; $63 %$ de $E$ en charge et $37 %$ en décharge à $t = τ$ .
La tangente à l'origine coupe l'asymptote en $t = τ$ ; régime permanent atteint vers $5 τ$ .
Condensateur chargé en régime permanent : $i = 0$ , il se comporte comme un interrupteur ouvert.
Capteurs capacitifs : une grandeur physique modifie $C$ (distance, surface, isolant).

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