Ondes et signaux

Diffraction, interférences et effet Doppler

Phénomènes ondulatoires et intensité sonore en décibels

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Ce que tu dois savoir faire

Calculer un niveau d'intensité sonore $L = 10 lo g (\frac{I}{I _{0}})$ et combiner des sources
Distinguer atténuation géométrique et atténuation par absorption
Exploiter la relation $θ = \frac{λ}{a}$ de la diffraction par une fente
Énoncer les conditions d'interférences constructives et destructives en termes de différence de chemin $δ$
Exploiter l'interfrange $i = \frac{λ D}{b}$ des fentes d'Young
Établir l'expression du décalage Doppler et l'utiliser pour mesurer une vitesse

1. Intensité sonore et niveau d’intensité sonore

Définition — Intensité sonore

L'intensité sonore $I$ est la puissance transportée par l'onde par unité de surface, en $W \cdot m^{- 2}$ . L'oreille humaine perçoit de $I_{0} = 1, 0 \times 1 0^{- 12} W \cdot m^{- 2}$ (seuil d'audibilité à $1 kHz$ ) jusqu'à environ $1 W \cdot m^{- 2}$ (seuil de douleur) : douze ordres de grandeur.

À connaître

L = 10 lo g (\frac{I}{I _{0}}) I = I_{0} \times 1 0^{L /10}

$L$ en décibels ( $dB$ ), $lo g$ est le logarithme décimal. Le seuil d'audibilité correspond à $0 dB$ , le seuil de douleur à $120 dB$ .

Propriété — Ce sont les intensités qui s’additionnent

Deux sources incohérentes produisent $I = I_{1} + I_{2}$ , pas $L = L_{1} + L_{2}$ .

Deux sources identiques : $I$ double, $L$ augmente de $10 lo g 2 \approx 3 dB$ .
Dix sources identiques : $L$ augmente de $10 dB$ .

Propriété — Atténuations

Atténuation géométrique : pour une source ponctuelle de puissance $P$ qui émet dans toutes les directions, l'énergie se répartit sur une sphère : $I = \frac{P}{4 π r ^{2}}$ . Doubler la distance divise $I$ par $4$ : $L$ perd $6 dB$ .
Atténuation par absorption : une partie de l'énergie est absorbée par le milieu traversé (mur, casque). On la mesure par $A = L_{incident} - L_{transmis}$ , en $dB$ .

Source de $0, 10 W$ qui rayonne dans toutes les directions. Chaque doublement de la distance fait perdre $6 dB$ .

Piège fréquent

Le décibel est une échelle logarithmique : $90 dB$ n'est pas « un peu plus » que $80 dB$ , c'est une intensité dix fois plus grande. Au-delà de $85 dB$ d'exposition prolongée, les cellules ciliées de l'oreille interne sont endommagées, sans régénération possible.

2. La diffraction

Définition — Diffraction

Une onde qui rencontre une ouverture ou un obstacle de dimension $a$ voisine de sa longueur d'onde $λ$ (ou plus petite) change de direction de propagation sans changer de longueur d'onde : elle s'étale. Le phénomène est d'autant plus marqué que $a$ est petite devant $λ$ .

Diffraction par une fente

Sur l'écran, une tache centrale large, encadrée de taches moins lumineuses. La tache s'étale perpendiculairement à la fente.

À connaître

θ = \frac{λ}{a}

$θ$ : demi-écart angulaire (en radians) entre le centre de la tache centrale et la première extinction. Approximation des petits angles : $tan θ \approx θ = \frac{L}{2 D}$ , d'où $L = \frac{2 λ D}{a}$ .

Exemple — Avec un laser rouge

$λ = 633 nm$ , fente $a = 0, 10 mm$ , écran à $D = 2, 0 m$ : $θ = \frac{633 \times 1 0 ^{- 9}}{1 , 0 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 6, 3 \times 1 0^{- 3} rad$ et $L = 2 D θ \approx 2, 5 cm$ .

Propriété — Une limite pour les instruments

La diffraction par l'ouverture d'un instrument (pupille, objectif de microscope) limite sa capacité à séparer deux points voisins. En échographie, plus la fréquence des ultrasons est élevée (plus $λ$ est petite), plus l'image est fine — mais plus l'onde est absorbée par les tissus.

3. Les interférences

Définition — Sources cohérentes

Deux ondes interfèrent de façon stable si leurs sources sont cohérentes : même fréquence et déphasage constant. En pratique, on les obtient en divisant une même onde, par exemple avec deux fentes éclairées par un même laser.

Propriété — Conditions d’interférence

En un point $M$ situé aux distances $d_{1}$ et $d_{2}$ des deux sources (en phase), on définit la différence de chemin $δ = d_{2} - d_{1}$ .

Interférences constructives (amplitude maximale) : $δ = kλ$ , avec $k$ entier.
Interférences destructives (amplitude minimale) : $δ = (k + \frac{1}{2}) λ$ .

Autrement dit : les ondes arrivent en phase si leur retard est un nombre entier de périodes, en opposition de phase s'il vaut un nombre demi-entier de périodes.

Les fentes d’Young

Sur l'écran, des franges brillantes et sombres alternées, régulièrement espacées de l'interfrange $i$ .

À connaître

i = \frac{λ D}{b}

Interfrange (distance entre deux franges brillantes consécutives), avec $b$ l'écart entre les fentes et $D$ la distance fentes-écran. En un point d'abscisse $x$ sur l'écran, $δ = \frac{b x}{D}$ (relation fournie).

Profil d'intensité avec $λ = 633 nm$ , $b = 0, 20 mm$ , $D = 1, 5 m$ : $i = \frac{633 \times 1 0 ^{- 9} \times 1 , 5}{2 , 0 \times 1 0 ^{- 4}} \approx 4, 75 mm$ (sans tenir compte de la diffraction par chaque fente).

Conseil bac

Pour mesurer $i$ avec précision, mesure la distance couvrant plusieurs interfranges (par exemple $10 i$ ) et divise. En lumière blanche, chaque couleur a son propre interfrange : seule la frange centrale est blanche, les autres sont irisées — c'est aussi l'origine des couleurs des bulles de savon.

4. L’effet Doppler

Définition — Effet Doppler

Lorsqu'une source et un récepteur sont en mouvement l'un par rapport à l'autre, la fréquence reçue $f_{R}$ diffère de la fréquence émise $f_{E}$ : elle est plus élevée quand ils se rapprochent, plus faible quand ils s'éloignent. C'est la sirène d'ambulance qui passe de l'aigu au grave.

Fronts d’onde d’une source en mouvement

Chaque cercle est un front d'onde émis à un instant différent, centré sur la position qu'avait alors la source. Devant elle, les fronts se resserrent.

Démonstration exigible — Établir le décalage Doppler (source mobile, observateur fixe)

Une source se rapproche à la vitesse $v$ d'un observateur immobile ; l'onde se propage à la célérité $c$ . Pendant une période $T_{E}$ , un front parcourt $c T_{E}$ tandis que la source avance de $v T_{E}$ dans le même sens. Deux fronts successifs ne sont donc séparés que de

λ_{R} = c T_{E} - v T_{E} = (c - v) T_{E}

Le récepteur reçoit $f_{R} = \frac{c}{λ _{R}} = \frac{c}{( c - v ) T _{E}}$ , soit

f_{R} = f_{E} \frac{c}{c - v} (rapprochement) f_{R} = f_{E} \frac{c}{c + v} (\overset{e}{ˊ} loignement)

À connaître

Δ f = f_{R} - f_{E} \approx \pm f_{E} \frac{v}{c} (v ≪ c)

Décalage Doppler aux faibles vitesses : positif au rapprochement, négatif à l'éloignement. Il permet de mesurer une vitesse : $v = c \frac{∣Δ f ∣}{f _{E}}$ .

Exemple — La sirène d’ambulance

Sirène à $f_{E} = 680 Hz$ , ambulance à $v = 25 m \cdot s^{- 1}$ ( $90 km \cdot h^{- 1}$ ), $c = 340 m \cdot s^{- 1}$ :

en approche : $f_{R} = 680 \times \frac{340}{315} \approx 734 Hz$ ;
en éloignement : $f_{R} = 680 \times \frac{340}{365} \approx 633 Hz$ .

Exemple — L’échographie Doppler

Une sonde émet des ultrasons de fréquence $f_{E}$ qui se réfléchissent sur les globules rouges en mouvement. L'onde subit un double décalage (le globule reçoit, puis réémet en mouvement) ; si le faisceau fait un angle $θ$ avec la direction du sang, on admet

Δ f = \frac{2 f _{E} v cos θ}{c}

Avec $f_{E} = 5, 0 MHz$ , $v = 0, 40 m \cdot s^{- 1}$ , $θ = 60°$ et $c = 1540 m \cdot s^{- 1}$ dans les tissus : $Δ f \approx 1, 3 kHz$ , une fréquence audible — c'est le « souffle » que l'on entend pendant l'examen.

Propriété — En astrophysique

La lumière d'une étoile ou d'une galaxie qui s'éloigne est décalée vers les grandes longueurs d'onde : c'est le décalage vers le rouge des raies spectrales. Il a permis de découvrir l'expansion de l'Univers.

Piège fréquent

L'effet Doppler ne dépend pas de la distance entre la source et l'observateur, mais de leur vitesse relative. Le son d'une ambulance qui approche ne devient pas « de plus en plus aigu » : il est aigu (et de plus en plus fort), puis bascule au grave au passage.

L’essentiel à retenir

$L = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}$ avec $I_{0} = 1, 0 \times 1 0^{- 12} W \cdot m^{- 2}$ ; ce sont les intensités qui s'additionnent.
Doubler l'intensité : $+ 3 dB$ ; la multiplier par $10$ : $+ 10 dB$ ; doubler la distance : $- 6 dB$ .
Diffraction significative si $a ≲ λ$ ; $θ = \frac{λ}{a}$ en radians.
Interférences : constructives si $δ = kλ$ , destructives si $δ = (k + \frac{1}{2}) λ$ ; sources cohérentes.
Fentes d'Young : interfrange $i = \frac{λ D}{b}$ .
Doppler, source qui s'approche : $f_{R} = f_{E} \frac{c}{c - v}$ ; qui s'éloigne : $f_{R} = f_{E} \frac{c}{c + v}$ .
Aux faibles vitesses : $∣Δ f ∣ \approx f_{E} \frac{v}{c}$ , d'où une mesure de vitesse.
Échographie Doppler : $Δ f = \frac{2 f _{E} v c o s θ}{c}$ (fournie).

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