Ondes et signaux

La lunette astronomique

Lentilles minces, système afocal et grossissement

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Ce que tu dois savoir faire

Utiliser le modèle de la lentille mince convergente : foyers, distance focale, vergence, rayons particuliers
Construire l'image d'un objet à l'infini : elle se forme dans le plan focal image
Représenter le schéma d'une lunette afocale et identifier objectif et oculaire
Tracer la marche d'un faisceau lumineux à travers la lunette
Établir l'expression du grossissement $G = \frac{α ^{'}}{α} = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$ et l'exploiter

1. Rappels : la lentille mince convergente

Définition — Foyers, distance focale, vergence

Une lentille mince convergente de centre optique $O$ possède deux foyers symétriques : le foyer objet $F$ et le foyer image $F^{'}$ . La distance focale est $f^{'} = \overline{O F^{'}} > 0$ et la vergence est

V = \frac{1}{f ^{'}}

en dioptries ( $1 δ = 1 m^{- 1}$ ), avec $f^{'}$ en mètres. Une lentille de $+ 4 δ$ a une focale de $25 cm$ .

Propriété — Trois rayons particuliers

Un rayon passant par le centre optique $O$ n'est pas dévié.
Un rayon incident parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image $F^{'}$ .
Un rayon incident passant par le foyer objet $F$ émerge parallèle à l'axe.

Construction d’une image

Deux des trois rayons particuliers suffisent à placer $B^{'}$ ; $A^{'}$ est sur l'axe, à la verticale de $B^{'}$ .

À connaître

\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}} γ = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{O A ^{'}}{O A}

Relation de conjugaison et grandissement (vus en première), avec des distances algébriques orientées dans le sens de la lumière.

Propriété — Objet à l’infini

Un objet très éloigné (étoile, Lune) envoie sur la lentille des rayons parallèles entre eux. Son image se forme dans le plan focal image : au point où le rayon passant par $O$ coupe ce plan. Si les rayons font l'angle $α$ avec l'axe, la taille de l'image vaut $A^{'} B^{'} = f^{'} tan α \approx f^{'} α$ .
Réciproquement, un objet placé dans le plan focal objet donne une image à l'infini : les rayons émergents sont parallèles entre eux, l'œil les observe sans accommoder.

2. La lunette astronomique afocale

Définition — Constitution

Une lunette astronomique est modélisée par deux lentilles convergentes de même axe optique :

l'objectif $L_{1}$ , tourné vers l'objet, de grande distance focale $f_{1}^{'}$ ;
l'oculaire $L_{2}$ , contre lequel on place l'œil, de petite distance focale $f_{2}^{'}$ .

Elle est afocale lorsque le foyer image de l'objectif est confondu avec le foyer objet de l'oculaire : $F_{1}^{'} = F_{2}$ . Un objet à l'infini donne alors une image à l'infini.

Méthode — Construire la marche d’un faisceau

Trace le rayon incident qui passe par $O_{1}$ (non dévié) : il coupe le plan focal $F_{1}^{'}$ en $B_{1}$ . L'image intermédiaire $A_{1} B_{1}$ est réelle et renversée.
Tous les rayons du faisceau incident (parallèles) convergent en $B_{1}$ après l'objectif.
$B_{1}$ est dans le plan focal objet de l'oculaire : trace le rayon fictif $B_{1} O_{2}$ (en pointillés), il donne la direction de tous les rayons émergents.
Prolonge chaque rayon jusqu'à l'oculaire, puis fais-le émerger parallèlement à $B_{1} O_{2}$ .

Marche d’un faisceau dans une lunette afocale

Faisceau venu d'un point $B$ à l'infini, incliné de $α$ . Il converge en $B_{1}$ puis ressort parallèle, incliné de $α^{'} > α$ , et de l'autre côté de l'axe : l'image finale est renversée. Ici $f_{1}^{'} = 3, 75 f_{2}^{'}$ .

Piège fréquent

Les rayons émergents ne passent pas par $F_{2}^{'}$ : ils sont parallèles entre eux, pas à l'axe. Le pointillé $B_{1} O_{2}$ n'est pas un vrai rayon du faisceau tracé : c'est un rayon de construction, non dévié, qui donne la direction commune.

3. Le grossissement

Définition — Diamètre apparent et grossissement

Le diamètre apparent d'un objet est l'angle sous lequel on le voit. On note $α$ l'angle sous lequel on voit l'objet à l'œil nu et $α^{'}$ l'angle sous lequel on voit son image à travers l'instrument. Le grossissement est

G = \frac{α ^{'}}{α}

sans unité.

Démonstration exigible — Établir G = f₁′/f₂′

Dans le triangle $O_{1} A_{1} B_{1}$ (rectangle en $A_{1}$ ) : $tan α = \frac{A _{1} B _{1}}{O _{1} A _{1}} = \frac{A _{1} B _{1}}{f _{1}^{'}}$ .
Dans le triangle $O_{2} A_{1} B_{1}$ (rectangle en $A_{1}$ , avec $A_{1} = F_{2}$ ) : $tan α^{'} = \frac{A _{1} B _{1}}{O _{2} A _{1}} = \frac{A _{1} B _{1}}{f _{2}^{'}}$ .
Les angles étant petits, $tan α \approx α$ et $tan α^{'} \approx α^{'}$ (en radians). Donc

G = \frac{α ^{'}}{α} = \frac{A _{1} B _{1} / f _{2}^{'}}{A _{1} B _{1} / f _{1}^{'}} = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}

À connaître

G = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} = \frac{V _{2}}{V _{1}}

Grand objectif et petit oculaire donnent un fort grossissement. La longueur de la lunette afocale vaut $O_{1} O_{2} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$ .

Exemple — Une lunette d’amateur

Objectif $f_{1}^{'} = 900 mm$ , oculaire $f_{2}^{'} = 10 mm$ : $G = 90$ , longueur $910 mm$ .
La Lune a un diamètre apparent $α \approx 9, 1 \times 1 0^{- 3} rad$ ; son image intermédiaire mesure $A_{1} B_{1} \approx f_{1}^{'} α = 900 \times 9, 1 \times 1 0^{- 3} \approx 8, 2 mm$ . Avec cet oculaire, la Lune déborde du champ : on n'en voit qu'une partie, très détaillée.

Conseil bac

Changer d'oculaire est la façon simple de changer de grossissement : avec le même objectif de $900 mm$ , un oculaire de $25 mm$ donne $G = 36$ et un oculaire de $6 mm$ donne $G = 150$ . Pense à convertir les deux focales dans la même unité.

4. Intérêt et limites de la lunette

Propriété — Pourquoi un objectif de grand diamètre ?

Le grossissement ne dépend que des focales. Mais le diamètre de l'objectif fixe la quantité de lumière collectée (on voit des astres moins lumineux) et limite les effets de la diffraction (on distingue des détails plus fins). C'est pourquoi les instruments professionnels ont des miroirs de plusieurs mètres.

Propriété — Pouvoir de séparation de l’œil

L'œil ne distingue deux points que s'ils sont vus sous un angle supérieur à environ $3 \times 1 0^{- 4} rad$ . Le disque de Jupiter, vu sous $α \approx 2, 3 \times 1 0^{- 4} rad$ , apparaît à l'œil nu comme un point ; avec $G = 50$ , il est vu sous $1, 1 \times 1 0^{- 2} rad$ : on distingue ses bandes nuageuses.

Objectif ou oculaire ?

Caractéristique	Objectif	Oculaire
position	côté objet	côté œil
distance focale	grande ( $f_{1}^{'}$ )	petite ( $f_{2}^{'}$ )
vergence	faible ( $V_{1}$ )	forte ( $V_{2}$ )
rôle	donne une image intermédiaire réelle dans son plan focal	joue le rôle de loupe sur cette image

L’essentiel à retenir

Lentille convergente : $V = \frac{1}{f ^{'}}$ en dioptries, avec $f^{'}$ en mètres.
Un rayon par $O$ n'est pas dévié ; un rayon parallèle à l'axe ressort par $F^{'}$ ; un rayon par $F$ ressort parallèle à l'axe.
Objet à l'infini → image dans le plan focal image ; objet dans le plan focal objet → image à l'infini.
Lunette afocale : $F_{1}^{'} = F_{2}$ ; objectif de grande focale, oculaire de petite focale.
L'image intermédiaire $A_{1} B_{1}$ est réelle et renversée ; elle mesure $f_{1}^{'} α$ .
Les rayons émergents sont parallèles au rayon fictif $B_{1} O_{2}$ .
Grossissement $G = \frac{α ^{'}}{α} = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$ (angles petits, en radians).
Longueur de la lunette : $f_{1}^{'} + f_{2}^{'}$ ; l'image finale est renversée.

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