Constitution et transformations de la matière

Décroissance radioactive

Désintégrations, loi de décroissance, demi-vie et datation

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Ce que tu dois savoir faire

Déterminer la composition d'un noyau à partir de sa notation $_{Z}^{A} X$ ; reconnaître des isotopes
Écrire l'équation d'une désintégration α, β⁻ ou β⁺ en appliquant les lois de conservation
Exploiter la loi de décroissance $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ et l'activité $A = λ N$
Utiliser la demi-vie $t_{1/2} = \frac{l n 2}{λ}$ , notamment pour une datation
Expliquer l'usage médical des radio-isotopes et les règles de radioprotection

1. Le noyau et sa stabilité

Définition — Notation d’un noyau

Un noyau est noté $X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X$ :

$Z$ , le numéro atomique, est le nombre de protons (il définit l'élément chimique) ;
$A$ , le nombre de masse, est le nombre de nucléons (protons + neutrons) ;
le nombre de neutrons vaut donc $N = A - Z$ .

Exemple : $X_{53}^{131} X_{253}^{2131} I$ contient $53$ protons et $131 - 53 = 78$ neutrons.

Définition — Isotopes

Des isotopes sont des noyaux de même $Z$ (même élément) mais de $A$ différents (nombre de neutrons différent) : $X_{6}^{12} X_{26}^{212} C$ , $X_{6}^{13} X_{26}^{213} C$ (stables) et $X_{6}^{14} X_{26}^{214} C$ (radioactif).

Propriété — Noyaux stables et instables

La plupart des noyaux sont instables : ils se transforment spontanément en un autre noyau en émettant un rayonnement. C'est la radioactivité. Le diagramme $(N, Z)$ montre que les noyaux stables se regroupent autour d'une courbe, la vallée de stabilité : $N \approx Z$ pour les noyaux légers, puis $N > Z$ pour les noyaux plus lourds.

Le diagramme (N, Z)

La position d'un noyau instable par rapport à la vallée de stabilité indique le type de désintégration qu'il subit (schéma qualitatif).

2. Les désintégrations radioactives

Propriété — Lois de conservation

Lors d'une réaction nucléaire, il y a conservation :

du nombre de masse $A$ (somme des $A$ à gauche = somme des $A$ à droite) ;
du nombre de charge $Z$ (somme des $Z$ à gauche = somme des $Z$ à droite).

Les trois types de désintégration

Type	Particule émise	Équation générale	Concerne
α	noyau d'hélium $X_{2}^{4} X_{22}^{24} He$	$X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X X_{Z - 2}^{A - 4} X_{2 Z - 2}^{2 A - 4} Y + X_{2}^{4} X_{22}^{24} He$	noyaux lourds
β⁻	électron $X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$	$X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X X_{Z + 1}^{A} X_{2 Z + 1}^{2 A} Y + X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$	excès de neutrons
β⁺	positon $X_{1}^{0} X_{21}^{20} e$	$X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X X_{Z - 1}^{A} X_{2 Z - 1}^{2 A} Y + X_{1}^{0} X_{21}^{20} e$	excès de protons

Exemple — Trois équations à savoir écrire

α : $X_{92}^{238} X_{292}^{2238} U X_{90}^{234} X_{290}^{2234} Th + X_{2}^{4} X_{22}^{24} He$
β⁻ : $X_{53}^{131} X_{253}^{2131} I X_{54}^{131} X_{254}^{2131} Xe + X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$ (l'iode 131, utilisé contre certains cancers de la thyroïde)
β⁺ : $X_{9}^{18} X_{29}^{218} F X_{8}^{18} X_{28}^{218} O + X_{1}^{0} X_{21}^{20} e$ (le fluor 18, traceur de la tomographie par émission de positons)

Pour trouver le noyau fils, on applique les conservations, puis on lit le symbole sur la classification avec la valeur de $Z$ .

Définition — Émission γ

Le noyau fils est souvent formé dans un état excité (noté $^{*}$ ). Il revient à son état fondamental en émettant un photon de très haute énergie, le rayonnement γ : $X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} Y X^{*} X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} Y + γ$ . Ni $A$ ni $Z$ ne changent. Le technétium 99m (le « m » signifie métastable) n'émet presque que des γ : $X_{99 m} X_{2}^{2 99 m} Tc X_{99} X_{2}^{299} Tc + γ$ .

Piège fréquent

L'électron émis en β⁻ ne vient pas du cortège électronique : il est créé dans le noyau, quand un neutron se transforme en proton. C'est pourquoi $Z$ augmente de $1$ tandis que $A$ ne change pas.

3. La loi de décroissance radioactive

Propriété — Un phénomène aléatoire

On ne peut pas prévoir quand un noyau donné va se désintégrer. Mais pour un grand nombre $N$ de noyaux, le nombre de désintégrations pendant une petite durée $d t$ est proportionnel à $N$ et à $d t$ : $d N = - λ N d t$ , soit

\frac{d N}{d t} = - λ N

$λ$ est la constante radioactive (en $s^{- 1}$ ), propre à chaque noyau ; elle ne dépend ni de la température, ni de l'état chimique, ni de l'âge du noyau.

À connaître

N (t) = N_{0} e^{- λ t}

Solution de l'équation différentielle : $N_{0}$ est le nombre de noyaux à $t = 0$ .

Définition — Activité

L'activité $A$ d'un échantillon est le nombre de désintégrations par seconde. Elle s'exprime en becquerels ( $1$ Bq $= 1$ désintégration par seconde) :

A (t) = - \frac{d N}{d t} = λ N (t) = A_{0} e^{- λ t}

L'activité décroît selon la même loi que le nombre de noyaux.

Exemple — Ordres de grandeur

Le corps humain a une activité naturelle d'environ $8000$ Bq (potassium 40 et carbone 14). Une scintigraphie osseuse utilise environ $700$ MBq de technétium 99m.

4. La demi-vie

Définition — Demi-vie

La demi-vie $t_{1/2}$ d'un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés : $N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2}$ .

À connaître

t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}

Après $n$ demi-vies, il reste $\frac{N _{0}}{2 ^{n}}$ noyaux.

Démonstration exigible — Démonstration de

t_{1/2} = \frac{l n 2}{λ}

$N (t_{1/2}) = \frac{N _{0}}{2} ⟺ N_{0} e^{- λ t_{1/2}} = \frac{N _{0}}{2} ⟺ e^{- λ t_{1/2}} = \frac{1}{2}$ .
On applique $ln$ : $- λ t_{1/2} = - ln 2$ , donc $t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$ .

Proportion de noyaux restants en fonction du temps, exprimé en nombre de demi-vies. La tangente à l'origine coupe l'axe des temps en $τ = \frac{1}{λ} \approx 1, 44 t_{1/2}$ .

Quelques demi-vies

Noyau	Type	Demi-vie	Usage
$X_{18} X_{2}^{218} F$	β⁺	110 min	TEP (imagerie)
$X_{99 m} X_{2}^{2 99 m} Tc$	γ	6,0 h	scintigraphie
$X_{131} X_{2}^{2131} I$	β⁻	8,0 jours	thyroïde
$X_{60} X_{2}^{260} Co$	β⁻	5,3 ans	radiothérapie, stérilisation
$X_{14} X_{2}^{214} C$	β⁻	5 730 ans	datation
$X_{238} X_{2}^{2238} U$	α	4,5 milliards d’années	datation des roches

Piège fréquent

Au bout de deux demi-vies, il ne reste pas $0$ mais un quart des noyaux. Et dans les calculs avec $e^{- λ t}$ , $λ$ et $t$ doivent être dans des unités cohérentes ( $s^{- 1}$ et s, ou $a n^{- 1}$ et années).

5. Dater avec le carbone 14

Le carbone 14 se forme en permanence dans la haute atmosphère. Un être vivant échange du carbone avec son milieu (respiration, alimentation) : sa proportion de $X_{14} X_{2}^{214} C$ reste constante, et son activité par gramme de carbone vaut $A_{0}$ . À sa mort, les échanges cessent : le $X_{14} X_{2}^{214} C$ n'est plus renouvelé et son activité décroît.

Méthode — Calculer un âge

Mesurer l'activité $A$ de l'échantillon et la comparer à celle $A_{0}$ d'un échantillon vivant (même masse de carbone).
Écrire $A = A_{0} e^{- λ t}$ , donc $\frac{A}{A _{0}} = e^{- λ t}$ .
Isoler $t$ :

t = \frac{1}{λ} ln (\frac{A _{0}}{A}) = \frac{t _{1/2}}{ln 2} ln (\frac{A _{0}}{A})

Exemple — Ötzi, l’homme des glaces

Les tissus d'Ötzi, retrouvé en 1991 dans les Alpes, ont une activité en carbone 14 égale à $53 %$ de celle d'un tissu vivant :

t = \frac{5730}{ln 2} \times ln (\frac{1}{0 , 53}) \approx 5, 2 \times 1 0^{3} ans

Conseil bac

Une datation n'est fiable que si la durée à mesurer est de l'ordre de quelques demi-vies : au-delà d'une dizaine de demi-vies (environ $50000$ ans pour le carbone 14), l'activité restante ( $\frac{1}{2 ^{10}} \approx 0, 1 %$ ) est trop faible pour être mesurée précisément. Pour les roches, on utilise l'uranium ou le potassium 40.

6. Radioactivité et santé

Propriété — Usages médicaux

Scintigraphie : on injecte un traceur émetteur γ (technétium 99m) qui se fixe sur un organe ; une gamma-caméra détecte le rayonnement et donne une image de son fonctionnement.
TEP (tomographie par émission de positons) : le fluor 18, fixé sur une molécule de glucose, s'accumule dans les cellules très actives (tumeurs). Chaque positon s'annihile avec un électron en émettant deux photons γ détectés en coïncidence.
Radiothérapie interne : l'iode 131 se fixe sur la thyroïde et détruit les cellules cancéreuses par ses rayonnements β⁻.

On choisit des noyaux de demi-vie courte (heures, jours) : assez longue pour l'examen, assez courte pour que le patient ne reste pas irradié longtemps.

Propriété — Radioprotection

Les rayonnements ionisants peuvent endommager l'ADN. Pour s'en protéger, trois leviers :

le temps : réduire la durée d'exposition ;
la distance : s'éloigner de la source ;
les écrans : une feuille de papier arrête les α, quelques millimètres d'aluminium arrêtent les β, il faut du plomb ou du béton épais pour atténuer les γ.

Piège fréquent

Les particules α, peu pénétrantes, sont inoffensives à l'extérieur du corps mais très dangereuses si on les inhale ou les ingère (radon, polonium) : elles déposent toute leur énergie dans les tissus proches.

L’essentiel à retenir

$X_{Z}^{A} X_{2 Z}^{2 A} X$ : $Z$ protons, $A$ nucléons, $N = A - Z$ neutrons ; isotopes = même $Z$ , $A$ différents.
Conservation de $A$ et de $Z$ dans toute réaction nucléaire.
α : émission de $X_{2}^{4} X_{22}^{24} He$ ; β⁻ : émission de $X_{- 1}^{0} X_{2 - 1}^{20} e$ ( $Z + 1$ ) ; β⁺ : émission de $X_{1}^{0} X_{21}^{20} e$ ( $Z - 1$ ) ; γ : photon, ni $A$ ni $Z$ ne changent.
$\frac{d N}{d t} = - λ N$ , d'où $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ .
Activité : $A = λ N$ en becquerels ; elle décroît comme $N$ .
$t_{1/2} = \frac{l n 2}{λ}$ ; après $n$ demi-vies, il reste $\frac{N _{0}}{2 ^{n}}$ .
Datation : $t = \frac{t _{1/2}}{l n 2} ln \frac{A _{0}}{A}$ , fiable sur quelques demi-vies.
Radioprotection : temps, distance, écrans (papier pour α, aluminium pour β, plomb pour γ).

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